马尔科夫切换随机区间线性系统的镇定分析

赵婷婷， 尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

马尔科夫切换随机区间线性系统的镇定分析

赵婷婷， 尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

研究了具有马尔科夫切换的随机区间线性系统的稳定化问题.为得到离散时间反馈控制器，首先设计了连续反馈控制器.通过比较连续时间控制系统和离散时间控制系统的差，得到了离散时间反馈控制器满足的条件.在此条件基础上，设计了基于离散时间观测的反馈控制器.最后给出了一个算例以说明控制方法.

马尔科夫切换； 区间线性系统； 指数稳定； Lyapunov函数

带有马尔科夫切换的随机微分方程已经被广泛应用于系统结构和参数会发生突变时的随机系统建模．关于马尔科夫切换影响下的随机系统，文献[1]建立了其解的存在唯一性及稳定性的完善理论，同时其也是带有马尔科夫切换系统领域的第一本专著．在文献[1]中，诸如Lyapunov函数或者泛函、M -矩阵以及线性矩阵不等式等方法被用于带有马尔科夫切换的随机微分方程或者随机时滞微分方程的稳定性分析．

在实际应用中，为了得到具体的系统描述，需要估计系统所涉及的参数，如线性随机系统需要估计其中出现的系数矩阵，由于估计会产生误差，系统参数带有多种形式的不确定性，这导致了不确定随机系统．关于不确定随机系统的研究，流行的方法有Lyapunov函数法、M矩阵、线性矩阵不等式等．文献[2-5]先后研究了3种典型的不确定系统：时变结构不确定系统[2-3]、凸多面体不确定系统[4]以及区间系统[5]．文献[1]的第3章对带有马尔科夫切换的区间线性系统的稳定性进行了详尽的分析．

近年来，随机系统稳定化问题得到了广泛的关注，利用不同的控制思想设计了一些有效的控制器与控制方法．文献[5]利用离散时间反馈控制方法对带有马尔科夫切换的随机系统进行分析，文献[6]对于不确定线性随机系统设计了鲁棒反馈稳定控制器，文献[7]设计了不确定随机系统几乎必然指数稳定的状态反馈控制器，文献[8]考虑了时变时滞和非线性扰动影响下的不确定随机系统的鲁棒随机稳定化和H问题．

对于不确定随机系统的稳定化问题，时变结构不确定系统和凸多面体系统得到了较多的关注[2-4]，而对于区间系统的稳定化问题涉及较少．本文将对区间线性系统的稳定化问题进行分析．从控制器的设计上看，传统的控制器设计方法是基于连续观测[7-8]，在漂移项或者扩散项上添加控制使得系统均方指数稳定．文献[5， 9]先后提出了不同的分析方法，研究了基于离散观测值的状态反馈控制器的设计方法．本文旨在将基于离散观测的控制设计方法应用于不稳定的区间线性系统的稳定化分析．

1 符号和稳定化问题

P(r(t+Δ)=j|r(t)=i)=

考虑带有马尔科夫切换的线性区间系统

dx(t)= [A0(r(t))+ΔA(r(t))]x(t)dt+

[D0(r(t))+ΔD(r(t))]x(t)dB(t)，t≥0

(1)

定义1 称线性区间系统(1)为均方指数稳定的，如果存在正数M>0，γ>0，均有E|x(t)|2≤Me-γt．

定义2 若A是一个矩阵，令‖A‖=max{|Ax|:|x|=1}为向量范数．

对于区间系统的指数稳定性判定，文献[1]提出了一些有效的判断方法．而对于一个非指数稳定的线性区间系统，期望在漂移项上添加Rn值的状态反馈控制器u(x(t)，r(t)，t)使得控制系统(2)指数稳定.

(2)

上述控制器的设计基于连续时间状态反馈，需要对状态x(t)进行连续观察．如果仅对于离散时间0，τ， 2τ， ... 进行观察会更实用、更经济，其中，τ>0是连续两次观测的时间间隔．本文将讨论基于系统离散时间观测值的控制器设计，也就是说控制器u具有的形式为u(x[t/τ]τ，r(t)，t)，这里[t/τ]表示t/τ的整数部分．从而将稳定化问题转化为在漂移项添加一个离散时间反馈控制器u(x[t/τ]τ，r(t)，t)，使得控制系统(3)指数稳定．

(3)

这里有两个问题需要解决：一是如何选择一个适当的τ，二是如何设计控制器u．为了解决上述问题，本文主要分两部分进行分析：

(i) 讨论不稳定辅助系统

ΔDr)y(t)dB(t)

y(0)=x0，r(0)=r0

(4)

的连续反馈控制器的设计，即寻找u(y(t)，r(t)，t)使得控制系统均方指数稳定．

(ii) 选取足够小的τ，使利用上述连续控制器u产生的离散状态反馈控制器u(x[t/τ]τ，r(t)，t)可以使控制系统(3)指数稳定．

本文主要任务：寻找并证明使得辅助系统(4)均方指数稳定的控制函数u满足的条件；寻找τ满足的条件使得控制系统(3)稳定．

2 主要结论

这里Im是单位矩阵．

假设给定一个不稳定n维线性系统(4)，设计一个线性反馈控制函数

u(x(t)，r(t)，t)=E(r(t))x(t)=

F(r(t))G(r(t))x(t)

添加在漂移项上使得控制的系统

(5)

均方指数稳定．为了方便，记E(i)=Ei，E(i)=F(i)G(i)=FiGi．在实际应用中F和G有一个是已知的，只需要设计另外一个．本文仅给出当G(r(t))已知时，设计F(r(t))的情形，这种设计被称为状态反馈控制器．

定理2．1 假设对某个常数γ>0和一系列的Qi∈Rn×nQi=QiT>0，Yi∈Rn×l(i∈S)及正数σ>0使得‖Qi‖≤σ满足线性矩阵不等式

(6)

证明：定义函数

V:Rn×S×R+→R+V(y(t)，r(t)，t)=y(t)TQ(r(t))y(t)

显然满足

利用引理2．2和2．3可得

Fi=Qi-1Yi则由条件(6)

-γV(y(t)，i，t)

定理2．1给出了基于连续观测的区间系统稳定化控制器的设计方法．以此线性控制器为基础，为得到基于离散观测的控制器设计，即τ的设计，需要比较以下两系统

之间的差异，分别记两个系统的解为y(t)与x(t)．关于两系统的差异,文献[5]证明了类似结论，归为引理2．4．

引理2．4 假设存在常数K1，K2，K3对所有的(x，y，i，t)∈Rn×Rn×S×R+满足

|f(x，i，t)-f(y，i，t)|≤K1|x-y|，

|u(x，i，t)-u(y，i，t)|≤K2|x-y|，

|g(x，i，t)-g(y，i，t)|≤K3|x-y|，

其中

f(0，i，t)=0，u(0，i，t)=0，g(0，i，t)=0，

则两随机系统

dx(t)= [f(x(t)，r(t)，t)+u(x([t/τ]τ)，

r(t)，t)]dt+g(x(t)，r(t)，t)dB(t)

dy(t)= [f(y(t)，r(t)，t)+u(y(t)，

r(t)，t)]dt+g(y(t)，r(t)，t)dB(t)

的解

x(t)=x(t；x0，r0， 0)，y(t)=y(t；x0，r0， 0)，

满足

E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)E|x0|2e(2K1+3K2+K32)t，

其中

定理2．2 分别记两个系统

(7)

(8)

的解为y(t)与x(t)，则E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)·E|x0|2e(2a+3b+c2)t．

其中

(9)

证明：对于(x，y，i，t)∈Rn×Rn×S×R+令

u(x，i，t)=Erx(t)，

满足

|f(x，i，t)-f(y，i，t)|≤a|x-y|，

|u(x，i，t)-u(y，i，t)|≤b|x-y|，

|g(x，i，t)-g(y，i，t)|≤c|x-y|．

由引理2．4可知

E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)E|x0|2e(2a+3b+c2)t.

定理2．3 假设τ*>0是方程

(10)

的唯一根，其中

(11)

任意固定初始数据x0，r0， 令tk=kτ，xk=x(kτ)，rk=r(kτ)，k=0， 1， 2， ...

x(t)=x(t；xk，rk，tk)， ∀t≥tk，

(12)

(13)

由式(13)可得

(14)

以下证明系统(7)和(8)两解在某一时刻的差异，从而得到某一时刻系统(8)的解所满足的性质．

E|y(t)|2≤ME|x0|2e-γt，

由式(14)可得

(15)

(16)

而由式(13)可得

e(2a+3b+c2)τ(4M)(2a+3b+c2)/γ

(17)

用式(17)替代式(16)中的相关部分，并利用式(11)则有

(18)

由式(15)和(18)得到

(19)

存在λ>0使得

进而

这证明

(20)

|e+f+g|2≤3|e|2+3|f|2+3|g|2

得到

再利用式(9)得到

由Gronwall不等式得到

再利用式(20)可得

下面给出一个有用的结论，利用定理2．3可以找到如下关于离散观测控制器的设计方法．

3 算 例

考虑线性不确定系统

(21)

(a) r(t)

(b) x1(t)

(c) x2(t)

这里设计一个离散时间状态反馈控制器使系统(21)稳定．假设控制系统具有如下形式

(22)

[1]MAOXR，CHENGY．StochasticdifferentialequationswithMarkovianswitching[M]． 2ndEdition．London:ImperialCollegePress， 2006：271-349．

[2]LUCY．AnLMI-basedapproachforrobuststabilizationofuncertainstochasticsystemswithtime-varyingdelays[J]．IEEETransAutomControl， 2003，48(2)：291-296．

[3]WANGC，SHENY．RobustHcontrol for stochastic systems with nonlinearity， uncertain and time-varying delay[J]． Comput Math Appl， 2012，63(5)：985-998．

[4] LI H Y， CHEN B， ZHOU Q， et al． Delay-dependent robust stability for stochastic time-delay systems with polytopic uncertainties[J]． International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2008，18(15):1482-1492．

[5] MAO X R． Stabilization of continuous-time hybrid stochastic differential equations by discrete-time feedback control[J]． Automatica， 2013，49(12)：3677-3681．

[6] KHARGONEKAR P P， PETERSEN I R, ZHOU K M． Robust stabilization of uncertain linear systems: Quadratic stabilizability andHcontrol theory[J]． Automatic Control IEEE Transactions on， 1990，35(3):356-361．

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[10] MAO X R． Stochastic Differential equations and applications[M]． 2nd Edition． UK: Horwood Publishing， 2007：001-190．

[11] 刘金山，吴付科．随机微分方程导论及应用[M]．6版．北京：科学出版社，2012：17-108．

[12] 龚光鲁．随机微分方程及其应用概要[M]．北京：清华大学出版社，2008：50-98．

(责任编辑：徐惠华)

收稿日期：2015-12-09

作者简介：陈益松(1964—)，男，湖南宁远人，教授，博士，研究方向为服装舒适性及光学三维测量等. E-mail：cys@dhu.edu.cn

文章编号：1671-0444(2017)01-0150-05

Stabilization of Stochastic Interval Linear System with Markovian Switching

ZHAOTingting，YOUSurong

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Stabilization of stochastic interval linear system with markovian switching is studied． In order to get a discrete-time feedback controller， firstly， a continuous feedback controller is designed． And then the condition for a discrete-time feedback controller is derived from the difference of continuous and discrete-time feedback controlled system． Based on such condition，the feedback controller based on discrete-time observations can be designed． At last a numerical example is given to vertify our techniques．

Markovain switching； interval linear system； exponential stability； Lyapunov function

2015-11-16

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(16D110906)

赵婷婷(1989—)，女，山东滨州人，硕士研究生，研究方向为随机微分方程．E-mail：1058216003@qq．com 尤苏蓉(联系人)，男，副教授，E-mail：sryou@dhu．edu．cn

1671-0444(2017)01-0144-06

O 211．63

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