例说几何画板在数学探究中的应用

江西省永丰中学 (331500) 刘 忠 吕永斌

例说几何画板在数学探究中的应用

江西省永丰中学 (331500) 刘 忠 吕永斌

数学探究是通过观察、分析数学事实，提出有价值的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明的过程.在实际探究中，对于要利用复杂函数图像的问题，如果靠传统的方法几乎是不可能的，而利用几何画板的动态数据更新与动态图形变换功能则能使探究变得简单轻松、直观形象.

一、文[1]关于问题2的解法展示

图1

二、并非任意的y=ax2+bx+c(a>0)问题2都有解

如图2所示，在同一坐标系中分别作出y=ax2+bx+c(a>0)和y=x的图像，设其一交点(假设有)为A，过A作y轴的垂线交抛物线于点B，再过B作x轴的垂线交直线y=x于点C，从而得到正方形ABCD.因此，只有当抛物线的顶点在正方形ABCD的边CD上或在正方形ABCD的内部时，问题2才有解.

图2 图3 图4

显然，此处正方形ABCD的作法与文[1]所述“直线y=m过抛物线的顶点或在抛物线下方”是一致的(因为只要满足“直线y=m过抛物线的顶点或在抛物线下方”，也就满足了“抛物线的顶点在正方形ABCD的边CD上或在正方形ABCD的内部)，因此“直线y=m过抛物线的顶点或在抛物线下方”是问题2有解的一个必要条件，并不是充要条件.实际上，当抛物线与直线不相交(如图3所示)或当抛物线的顶点在如前所述的正方形外(如图4所示)时，问题2就无解了.

三、当a,b,c满足什么条件时，问题2才有解

以上方法得到了关于问题2是否有解的粗略判断，所谓“形少数时难入微”，要得到问题2有解时a,b,c的关系，还得从“数”的角度考虑.

综(1)(2)所述，对于y=ax2+bx+c(a>0),当a,b,c满足-1≤Δ-2b<2，或2≤Δ-2b≤8，即-1≤Δ-2b≤8的条件时，“m≤ax2+bx+c≤n的解集恰为[m,n]”才有解.

因此，当a,b,c满足-1≤Δ-2b≤8的条件时，问题2才有解.

四、用几何画板验证结论

1、利用几何画板作出前图2，步骤如下：

(1)定义坐标系；(2)利用“点”工具，在x轴上取点A，同时选定点A和x轴“构造”“垂线”；(3)在垂线上选取点B，隐藏垂线；(4)利用“射线”工具画出射线AB；(5)隐藏点B，利用“点”工具在射线上取点C；(6)右键点击点C，得到点C的纵坐标yC；(7)右键点击yC，得到其标签，命名为a；(8)选取点C，点击“编辑”“操作类按钮”“动画”，然后将“动画”的“标签”命名为“点击此按钮改变a的值”；(9)隐藏点A、C及射线；(10)利用“点”工具，在x轴上任取点D,E分别构造过此两点的x轴的垂线j,k；(11)在直线j上利用“点”工具任取点F，并用右键得到点F的纵坐标yF；(12)将yF的标签命名为b；(13)如步骤8，得到“点击此按钮改变b的值”；(14)同理，得到“点击此按钮改变c的值”；(15)隐藏点D,E,F及直线j,k；(16)点击“数据”“计算”，由标签“a,b,c”得到标签“b2-4ac-2b”；(17)点击“绘图”“绘制新函数”利用a,b,c得到函数f(x)=ax2+bx+c及g(x)=x的图像；(18)通过改变a,b,c将函数f(x)=ax2+bx+c及g(x)=x的图像调整到有两交点的情况，并取它们的右交点H；(19)由点H和y轴“构造”垂线l；(20)“构造”垂线l与抛物线的另一交点I；(21)由点I与直线l“构造”垂线m；(22)由直线m与g(x)=x的图像“构造”交点J；(23)由点J和直线m“构造”垂线n；(24)由点H和直线n“构造”垂线o；(25)由直线n和直线o“构造”交点K；(26)隐藏直线l,m,n,o；(27)构造线段IJ,JK,KH,HI得到正方形IJKH.

2、通过相关按钮连续改变a,b,c的值，得到抛物线的顶点与正方形位置关系的所有情况，如图5-9所示.

图9

从图5中可以看出，当b2-4ac-2b=5.638∈(-1，8)时有解；从图6、图7中可以看出，当b2-4ac-2b=8或-1时处于临界情况也有解；从图8、图9中可以看出，当b2-4ac-2b<-1或b2-4ac-2b>8时无解.这样就验证了我们所得结论的正确性.

[1]武增明.一对形似质异问题的辨析[J].中学数学教学参考:上旬，2013(10)：42-43.

[2]刘 忠.一道值得商榷的形似质异变式题[J].中学数学教学参考:上旬，2016(8)：63-64.