从“动手”到“动脑”

黄芬+李连华

【摘要】在数学教学中，引导学生借助活动经验展开數学想象，帮助学生真正实现知识的内化：在观察比较中初步建立“平均分”的表象，在比较思辨中突出“平均分”的意义，在细节中精致“倍”的内涵，在分分圈圈中完善“平均分”的建构，在数学想象中内化“平均分”的内涵。

【关键词】观察 思辨 想象 操作 讨论

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考。在教学中，我们不仅要创设让学生动手操作的机会，更应当重视由“动手”向“动脑”转变，切实促进学生由单纯的操作经验向相关知识的深刻理解转变。郑毓信说：我们所希望的就是由“动手”过渡到“动脑”，使学生将注意力由如何实际地完成相应的动作转移到对其内在属性的思考。结合苏教版数学二年级下册《认识平均分》的教学，谈谈如何引导学生从“动手”过渡到“动脑”，让学生借助活动经验展开数学想象，帮助学生真正实现知识的内化。

一、找准知识点，在观察比较中初步建立“平均分”的表象

片段1：平均分的认识

师：同学们，你们看老师这里有6个桃子，准备把它们分成2份，可以怎么分？

生1：6个可以分成3个和3个。

生2：6个可以分成2个和4个。

生3：6个可以分成5个和1个。

根据学生的回答，师摆出各分法：

①○○○ ○○○

②○○ ○○○○

③○○○○○ ○

师：6个桃，如果分成三份，可以怎么分呢？

生：可以分成1个、1个、4个；可以分成1个、2个、3个；还可以分成2个、2个、2个。

根据学生的回答，师摆出各分法：

④○ ○ ○○○○

⑤○○ ○○ ○○

⑥○ ○○ ○○○

师：同学们，你们能想出这么多种分法，真是了不起！那你们觉得在这些分法中，哪些方法很公平？

生：第一种和第五种分法很公平！

师：大家同意吗？（师取走其他的，剩下公平的）

师：同学们，为什么你们都觉得这样分是公平的呢？

生：因为它们分得一样多。

师：同学们的意思是它们每份都是一样多，是吧？一起看一下！

师边指边问：第一份几个？第二份呢？它们每份都是3个。（指问○○○ ○○○）

这里的第一份几个？第二份呢？第三份？它们每份都是2个。（指问○○ ○○ ○○）

师：像这样，每份分得同样多。（板书：每份分得同样多）分得很公平，就叫“平均分”。

（板书：平均分）

师：这种公平的分法叫什么？

生：平均分。

师：什么是平均分？再让我们流利地说一遍。

5.揭题：今天我们就来认识平均分。

评析：

尤纳斯指出：“在面临各个特定的数学概念的教学任务时，数学教师应当仔细研究学生在日常生活中是否已经用到了这一概念，并努力弄清在日常概念与算法背后的不变因素。因此，在大多数情况下就只有通过对大量实例进行综合分析，而不是单个实例的考察，我们才能顺利地发现其中的共同成分，并由此引出相应的普遍性结论。”“分桃”活动是学生熟悉的感兴趣的活动，从学生已有的知识经验出发，让学生把6个桃不仅分成2份，还分成3份，在两次动手分的基础上，不仅让学生对分的过程有了足够的感知，而且为学习新知提供了足够多的材料，再让学生把刚才分的情况看一看、比一比，在比较的基础上，引导学生对操作模式的共同属性进行抽象概括，学生很快就从共同特征中抽象出“平均分”这个概念的本质属性：每份分得同样多叫平均分。

二、提供反例，在比较思辨中突出“平均分”的意义

片段2：手势判断

师：说说下面哪种分法是平均分，你认为是平均分的就用对的手势，不是就用错的手势。

师分批出示图片，学生手势判断：

师：你们为什么认为苹果、松鼠不是平均分呢？

生1：因为它们分得不是一样多。

生2：它们每份不一样多。

师：同学们看，松鼠的第一组2只，第二组也是2只，是一样多的呀，为什么它们不是平均分呢？

生：可是它们第三组有3只，平均分一定要每份都是一样多才行！

师：明白了！虽然松鼠第一组和第二组是一样多的，但是第三组不一样多，也就是每份不一样多，所以不是平均分。

评析：

所谓反例，就是故意变换事物的本质属性，使之质变为其他事物，然后在引导思辨中，从反面突出事物的本质属性，从而帮助学生准确深刻地理解概念。《数学教学心理学》指出：在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应该采取适当的措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免新旧概念混淆，新概念被旧概念所湮灭。在上述片段中，学生对平均分的认识还是初步的，通过对一组组不同事物分法的比较与思辨，帮助学生从对错误的反省中引发对知识更为深刻的正面思考：平均分的时候每份都是一样的，学生对平均分的认知就在这样的思辨中再次被强化了。其中，教师对松鼠分法的追问：松鼠的第一份2只，第二份也是2只，这一样多为什么不是平均分呢？让学生进一步感知到平均分的特殊性：一定要每份都分得同样多才是平均分，让学生对概念的认识又深了一步，进一步加深了学生对平均分的认识。典型反例的恰当提供，不仅能突出概念的内涵，还可以对错误“防患于未然”，把将发生而未发生的错误消灭在了萌芽状态，帮助学生建立了正确的概念意象。

三、界定概念要素，在细节中精致“倍”的内涵

片段3：“每份數”和“份数”

出示图片：

师：同学们，都是把8个苹果平均分，它们的分法一样吗？哪里不一样？

生：他们的分法不一样。第一排每一份是2个，下面每一份是4个。

师：是吗？一起来看一看！第一份几个？第二份？第三份？第四份？

生：2个，2个，2个，2个。

师：每一份都是2个，我们就说：每份2个。一起说一下！（出示：每份2个）

师：分成几份？

生：4份。

师：伸出小手一起来圈一圈，数一数！

师点课件圈画，生伸出手指书空圈数。

师：确实是4份。（出示：分成4份）

师：下面一排苹果每份几个？分成几份？

生：下面一排苹果每份4个，分成2份。

师：是吗？一起伸出小手数一数！

师点课件圈画，生伸出手指书空圈数。

师：看来它们确实分得不一样！虽然两排苹果都是平均分，但是第一排是每份2个，分成4份；第二排每份4个，分成2份。同学们，我们在看平均分时一定要看清每份几个，分成几份。

师：刚才你们认为五角星也是平均分，那你能说出：每份几个，有几份吗？同桌互相说一说。

评析：

《数学教学心理学》指出：在数学学习中，概念精致的实质就是对概念的内涵与外延进行详尽的“深加工”，对“概念要素”进行具体的界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握得更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些条件限制等。平均分这个概念涉及两个要素，一个是每份数，另一个是份数，这两个要素学生理解时很容易混淆，但这两个要素对理解平均分很关键，而且对学生后续的数学学习也非常重要。为了帮助学生加深对这两个要素的理解，教学到此停了停，用8个苹果的两种平均分设置问题情境：把8个苹果平均分，这两种分法一样吗？哪里不一样？引起学生对平均分这两个要素的关注，让学生圈一圈、数一数、说一说，在细腻的引导下，让学生清晰地建立了这两个要素的表象，加深了对这两个要素的理解，使学生对平均分的分法把握得更到位，认识也更到位了。

四、动手操作，在分分圈圈中完善“平均分”的建构

片段4：“每几个一份”分一分

师：刚才我们不仅知道了平均分，而且还知道每份几个，有几份。那怎样才能做到平均分呢？接下来，我们就一起来研究。

（贴板书：12根小棒，每2根一份，可以分成（ ）份）（读题）

师：每2根一份，你想怎么分？

生：2根2根地分。

（一生板演，其余自己分）

师：他分得对吗？一起数一数，分成几份？

师：完整读一读题目。

师（小结）：12根小棒，每2根一份就是2根2根地分，可以分成6份。

师（再来考考你们）：

（课件出示：12根小棒，每3根一份，可以分成（ ）份）

（课件出示：12根小棒，每4根一份，可以分成（ ）份）

师：该怎么分呢？请同学们动手分一分。

（学生动手分）

师：说说你是怎么分的？分成了几份？

师（小结）：像刚才那样把12根小棒进行每几个一份地分，就是我们今天要学习的内容。

片段5：“每几个一份”圈一圈

师：同学真聪明！不仅认识了平均分，而且还会动手平均分了。奖励你们一些饼干糖果。

课件出示：

师：现在要把它们平均分，但没有饼干、巧克力、糖可以摆，你有没有什么好方法，让大家一眼就看出，你也是在平均分？

生1：可以用画小竖线的方法。

生2：圈一圈。

师：都可以。今天我们就用这个圈一圈的方法，先圈一圈，再填一填。

（学生独立完成练习，并交流）

师：生活中也经常会遇到平均分的问题呢！

课件出示：有8个桃，每个小朋友分2个桃，可以分给（ ）个小朋友。

师：每只小猴分2个桃是什么意思？就是怎么分？

生：每只小猴分2个桃就是每2个一份地分。

（学生圈分，交流）

评析：

著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”所以在小学数学教学中，教师应充分利用学具，加强学生的实践操作，让学生在学具操作中发挥潜力。学生在认知“平均分”这一概念时，让学生多次动手分一分小棒，在动手操作中帮助学生建立平均分的表象，并及时推动学生分析、综合、比较、抽象、概括，加深对平均分的认识。在此基础上进一步让学生对饼干等进行圈分，半具体半抽象的圈分促使学生思维又进了一步，对平均分的感知又深了一层，这样的安排既符合低年级学生认知概念的心理，又促进学生的思维一步步深入，对平均分这个概念的认识也一步步加深。可见，学生的认知在操作中得到发展，又在操作中得以完善。

五、抽象概括，在数学想象中内化“平均分”的内涵

片段6：想象平均分

出示图文题：有12个桃，每个小朋友分2个桃，可以分给（ ）个小朋友。

师：不分你能猜出分给几个小朋友吗？

生：6个。（个别学生反应很快）

师：到底是不是6人呢？一起圈一圈（课件演示：边圈边数，1次、2次……）

师：确实是6次。刚才还没分，你怎么就知道是6次的呢？

生：每2个一份，就是2个2个地分，想几个2是12，6个2是12。所以是6个小朋友。

师：是不是呢？一起来想：1个2，2个2……6个2，6个2就是12，所以拿6次。

出示无图文字题：20个桃，每人4个，分给几人？

师：这次没有图了，你能猜出分给几人吗？

生：5人。（有停顿，但是一会儿就有学生举手了）

师：确定吗？一起验证一下！1个4是4，2个4是8……5个4是20，确实，20里面有5个4。可以分给5人。

课件出示：12个桃，每个小朋友分3个，可以分给几个小朋友？教学过程同上。

评析：

通过让学生有图想象分验证，再过渡到无图想象分，一步一步地帮助学生内化平均分的认识，在一次次的验证过程中，真正使“活动内化”，使学生从一个水平的认知提升到下一个水平，对平均分的认知也越来越清晰明朗。由此也激发了学生根据已有的知识经验解决实际问题，通过想“12里面有（ ）个2”的方法来帮助解决实际问题，甚至有学生想到用乘法口诀来解决。这一个环节很好地帮助学生从具体形象思维过渡到了抽象思维，帮助学生把新知纳入了他已有的知识结构中，把平均分这个概念与已有的概念建立了广泛联系，真正理解了平均分这个概念。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：141.

[3]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014：53，58.

[4]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2011：8.