平面向量基本定理的拓展与应用

李睿思

在平面向量内容的学习中，我们学到了一个重要定理叫平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，μ，使a=λe1+μe2.定理说明了平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量表示出来，这为我们运用向量方法研究问题带来了极大的方便.定理的一些基本应用在教材及习题中都有体现，同时在课外资料的学习中也了解到定理还可作一些拓展，而且拓展的结论也有很好的应用性.

推论1当向量OP与不共线的向量OA，OB的终点A，B位于同一直线上时，有OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

證明因为A，P，B三点共线，所以AP=mPB，

由AP=OP-OA，PB=OB-OP，

得OP-OA=m（OB-OP），

整理得（1+m）OP=OA+mOB，

于是有OP=11+mOA+m1+mOB.

令11+m=λ，m1+m=μ，

即得OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

特别地，当P为A，B中点时，则OP=OA+OB2.

例1△ABC中，D，E分别是AB，AC上两点，AD∶DB=1∶3，AE∶EC=2∶1，连接BE，CD，线段BE，CD交于点P，连AP并延长与边BC交于点F，求BF∶FC.

解设AB=a，AC=b，

由B，P，E三点共线，可设AP=xAB+（1-x）AE=xa+23（1-x）b，

由D，P，C三点共线，可设AP=yAD+（1-y）AC=14ya+（1-y）b，

可求得x=110，所以有AP=110a+35b.

又因为A，P，F在一直线上，

设AF=kAP=110ka+35kb，

而F是线段BC上的点，故可设AF=ma+（1-m）b，

从而可求得m=17，即AF=17a+67b，

因此BF∶FC=6∶1.

从例1的解答可以看到平面向量定理及其推论1在解决平面几何线段相交问题时带来很大的方便，拥有强大的解题功能和重要的应用价值，值得我们研究学习并掌握一些基本的运用.

在平面向量基本定理及其推论1的学习与研究中，除了得到，当P为AB中点时，则OP=OA+OB2这样的特殊结论外，我们还发现其他一些特殊的结论.比如，若点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶1，则OP=13OA+23OB；若点P在线段AB延长线上，且AP∶PB=2∶1，则OP=-OA+2OB.这种变化中的不变规律让我想到几个新的问题.

例4（2010年高考天津卷理）在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，则AC·AD=.

解∵|CD||BC|=3-13，

∴由推论2，得AC=（1-3）AB+3AD，

∴AC·AD=[（1-3）AB+3AD]·AD=3AD2=3.

例5已知△ABC，AB=2，AC=3，∠A的平分线AD与AB边上的中线CM交于O，若AO=xAB+yAC，则x+y=.

解∵MOAC=13，

∴AO=34AM+14AC=38AB+14AC，

∴x+y=58.

例6△ABC中，M为AB边上一点，P为CM上一点，CP=CAbcosA+CBacosB，|CM|=c2，a2+b2=22ab，求角C.

解设CP=xCA+yCB，则xy=BMAM=acosBbcosA，

∴CM⊥AB，∴S=12AB·CM=14c2=14（a2+b2-2abcosC）=12absinC，

∴sinC+cosC=2，∴C=π4.

从上述过程我们看到，从课本的定理出发，分析研究定理条件或结论的相关性，适当改变条件或结论的形态，研究是否存在值得探究的新问题，这是数学研究性学习的一个切入点与途径，通过这种学习与研究，我们收获的不只是推广后的一些重要结论，更重要的是在学习经历观察事物、发现问题、探究问题、总结并归纳结论的过程中能力得到了提高，值得我们平时学习时关注与重视.

【参考文献】

[1]杨晓青.平面向量分解定理及其应用[J].数学教学，2008（5）.

[2]谢星恩，林世中.平面向量定理的一个推论的应用[J].福建中学数学，2009（5）.