思维的增量在哪里———以《20以内退位减法》复习课为例

孙其英

小学生学习数学的过程是一个不断再创造，形成新的知识结构，并促进思维能力螺旋上升的过程。在这个过程中，每一节数学课的思维增量，支撑着学生思维能力的提高。

一、在学生想不到的地方设计问题，锻炼思维的全面性

课堂片断一：课始，出示（）－7=比6大，填填看，你是怎么想的？

学生纷纷进行填写，反馈有两种想法：

生1：填一个数字，算一算，看差是不是比6大，所以，填写了 17、14、16 等。

生2：我也是，一开始试了10、13，发现差没有比6大，后面试的都可以。

学生想不到的地方：一年级的学生思维还处于感性思维占主体阶段，尝试法是他们学习数学常用的方法，在这个练习中，学生利用尝试法进行计算，得出结果。可以从几开始想，答案有几个，要注意什么，这些都是学生想不到的地方。

教学策略：针对学生的思维特点，设计问题：从几开始写？要注意什么？

课堂再现：

问题1：从几开始写？

师：刚才报了好多答案，那么，从几开始写呢？

生1：从14开始写。我是从差开始想的，因为差要比6大，可以是7、8、9……，（ ）-7=7、（ ）-7=8、（ ）-7=9……所以，被减数就是 14、15、16……

生2：先写13，我是与13-7=6进行对比，因为差要比6大，所以，被减数13是不够的，那可以是 14、15、16……，所以，从 14 开始写。

问题2：要注意什么？

将（ ）-7=比6大过渡到（ ）-7＞6，并出示13-（）＞6，填填看，从几开始填？

生1：从6开始填。我想答案要大于6，可以是 7、8、9 等，13-（）=7,13-（）=8,13-（）=9，就可以得出（）从6开始填。

生2：从6开始填。我是与13-7=6进行比较，答案比6大，也就是减去的数要比7小，可以从6开始填写。

师：要注意什么？

生3：要注意不要漏掉0，应该是6～0。

生4：是的，我刚才就是6～1。

【教学思考：问题“从几开始写”，让学生的思维趋于有序，一开始的尝试填写，从无序填写，到有序思考，是思维上的一个跨越。通过问题“要注意什么”，提醒学生要注意容易漏掉的“0”，使思维更趋于完整、全面。通过看似平常的两个问题，在学生想不到的地方，关注了思维的有序性，关注了“0”这个易漏点，让学生的思维经历从一开始的无序到有序，从随意到严谨，做到不重复、不遗漏。】

二、在学生想不深的地方资源链接，培养思维的深刻性

课堂片断二：出示（）-（）=6，你有什么发现？

生1：7-1=6开始填写，一直到20-14=6。

生 2：20-14=6，一直到 7-1=6。

生3：还有6-0=6，不能漏掉。

师：你有什么发现吗？

生4：被减数有规律，减数有规律。

教学策略：学生对单列数据已经感悟到填写规律，但不能深入思考算式整体之间的关系。这时，我采用资源链接法，用数形结合和生活中的年龄问题来帮助学生深入思考。

课堂再现：

师：这类问题比较抽象，让图形来帮助我们吧。

链接1：数形结合。

图1　

图2　

图3　

图4　

图5　

图6　

从图1到图2，用长方形表示，两个队始终相差6，我们可以继续表示一直到20-14=6；从图2到图3，把长方形竖起来，两个队还是相差6；从图3到图4，把长方形压扁，变成小正方形，仍旧表示两个队相差6；从图4到图5，继续压扁，变成两根线段，还是表示两个队相差6；从图5到图6，将相差部分从左边移到右边，也是表示相差6。

链接2：年龄问题。

师：（ ）-（ ）=6，还可以怎样想呢？让生活经验来帮我们理解吧！

出示一组班级中小朋友的姐弟照片，出示他们的年龄：

师：他们都可以用（ ）-（ ）=6来表示，这就是生活中的数学问题。那么，小明10岁时，姐姐几岁呢？姐姐20岁时，小明几岁呢？

生：小明10岁时，姐姐16岁，因为（16）-（10）=6；姐姐20岁时，小明14岁，因为（20）-（14）=6。

【教学思考：从长方形到压扁的小正方形，再到线段，是一个渐进的过程，也是从平面图形到线段的抽象过程，为今后的线段图学习奠定基础。数学源于生活，生活中处处有数学。年龄是学生的生活经验，迁移生活经验来理解抽象的（）-（）=6，让学生感受到数学不再是抽象的。在学生想不深的地方，运用资源链接，数形结合，迁移生活经验，锻炼思维的深刻性，思维就有了增量。】

三、在学生想不透的地方渗透代数结构，促进思维的灵活性

课堂片断三：出示13-7=（ ）-6，你是怎么想的？

生 1：因为 7-1=8-2=9-3=……=6，所以，括号里填12。

生2：因为左边等于6，右边也要等于6，所以，括号里填12。

师：对了，这样的题目我们以前叫它“火车车厢”算式（即将算式看成是一节“车厢”，每节车厢得数相等，类似天平原理），那你能填写下面这题吗？

出示：（ ）-7=（ ）-6，你有什么发现？

生3：根据“火车车厢”原理填的，两边都等于6，所以，填 13 和 12。

师：还有其他的吗？

（学生进入思考，一时没人举手）

教学策略：像这一类比较抽象的等式问题，我采用渗透代数结构的方法，促进学生思维的灵活性。

课堂再现：

师：除了两边都等于6，还可以等于其他数吗？

生1：可以等于5，那就填12、11，也可以等于其他数。

师：还可以怎么想？

生2：还可以这样想，减数7到6减少了1，那被减数也减少1就好了，所以，只要是第一个被减数比第二个被减数大1的，都可以。

师：说得真好！要解决（ ）-7=（）-6，不仅可以考虑等号两边的关系，还可以考虑减数之间的规律导致被减数之间的规律，因为减数少1，要使差相等，被减数也要少1。这种从算式的结构角度去思考，叫代数结构思维，是系统解决问题的好办法。

【教学思考：要解决（ ）-7=（ ）-6，不仅是一种逆向思维，要考虑等号两边的关系，还要考虑减数之间的规律导致被减数之间的规律，才能灵活地进行解决，这正是学生想不透的地方。从考虑数的规律到考虑算式整体的规律，学生的思维有了一定的增量，那么学生的思维就灵活了。】