代数解题中的典型错误心理分析与启示

广东省中山市东凤理工学校(528425) 张红霞

代数解题中的典型错误心理分析与启示

广东省中山市东凤理工学校(528425) 张红霞

一、典型代数解题错误的心理分析

1.因代数解题思维过程的复杂性导致的一类“错误”的心理分析

代数思维作为一种形式符号的操作,需要较高的符号操作能力,学生如果不具备确定等价转化的结构意识,那么代数解题过程中就会发生由于思维过程的复杂性而导致的错误.这种复杂性让学生一般的心理思维受阻而无法全面考虑推理逻辑互逆的推理关系.

这是一道纯粹的代数题,主要的心理操作是符号变换,其中的思维复杂.首先,问题是在已知一个角满足一个三角函数关系式的情况下,求这个角的余弦值.如果关系式中含有要求的三角式子,学生可以按方程思想及换元思想来理解和解决这个问题.但现在不是,那么按照一般思路,就应先求出这个角或者这个角的正弦值和余弦值,再求这个角的余切值,这是一般学生想得通的.可是,本解题过程并不是按这种思路来解决的,而是避开求角,通过关系转换,变成所要求的三角函数式的一个等式,转换为方程及换元思路来解决.那么,这个转换就要求“可逆”,学生明白这个道理吗?

有些学生到了(5)这一步,就宣告结束,结果出来了,为什么?这是因为他没有可逆的意识.有的学生从条件出发考虑,觉得还有一个条件没有用,题目到(5)不能结束,这才想到进一步利用条件“细化”结论,而不是处于可逆的想法.

从(1)到(5)学生可能是套以往的方法模式,从(6)到(11)是进一步求符合条件的要求量.实际上,整个思维过程是复杂的,因为这里联合运用了条件(1).(1)到(5)是先求符合满足其中一个条件的所有要求量,而在具体实施过程中,不仅是求出符合一个条件的要求量,而且也有可能求出不符合这个条件的量,因为用了“平方”运算,(6)到(11)是剔除不符合第一个条件和第二个条件的,正是由于有这步工作,“二合一”,所以前面用了平方运算也不用再单独剔除.可以发现学生缺乏的不是理论知识,而是对形式结构的洞察力.

2.因代数解题外显表达“失误”导致的一类“错误”的心理分析

代数问题解决是一个复杂过程,代数解题中语言表达——数学语言运用,也就是数学语言书写对于学生也是一种困难.当学生试图把有关代数的想法(如化简、运算、推理与证明等)用书面的形式写下来时往往会出现“心里清楚,但是表达出来却不是那么一回事儿”的情况,即产生书写失误.

如图1所示的解题书写失误,学生其实掌握了多项式的运算法则和幂的运算,特别知道负数的偶数次是正数,负数的奇数次是负数,但是在书写的时候就产生了“·”的书写困难,点乘写得跟减号很像,于是在第二步的第一项运算里面就出现了心里想着是(−x)2·x3,但是中间的点写得非常像减号,于是脑海里晃过“−x平方后负号没了,但是x3前面有个负号”,所以结果就成这样了.其次可以看到两种运算符号紧接着连续出现的现象:−x5·−8y和4x2y2·−x3y,学生掌握的运算顺序“先乘除再加减,有括号先算括号里面的数”,括号里面的运算完成之后,即成功去括号之后没有想过还要添括号连续的两种运算符号中间需要用添加括号来保证运算书写的合理性,结果导致了书写过程与结果都错了.

图1

3.因代数解题文字理解的困难性导致的一类“错误”的心理分析

代数问题解决具有广泛的应用背景,代数应用题的本质是一种数学建模活动:一方面要求学生能够根据实际情境,发现和构建合适的数学模型;另一方面也要求学生能够解释各种数学模型的不同意义.在这种活动中符号意识和对数学模型的洞察力至关重要.应用题通常称为“文字题”,一般都有较多的文字叙述,文字的表述、文字题中无关信息、文字过多等都会对学生的代数问题解决带来困难.

案例2

图2

学生解答应用题时出现错误的一个重要的原因是学生过分依赖句中的关键词,而未能真正了解题目的语意.可以看出学生在阅读的时候非常认真,把关键词都划出来了,但是解题过程错误百出.所以学生的阅读理解能力还是差,无法正确理解题意.“出厂价总是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动”,“出厂价总是……”理解成了“出厂总价”,而6元的基础直接忽视了,同样情况也发生在销售价上,如此以来导致后面做的大量计算的努力都白费了.文字理解不仅仅出现在多文字应用题中,还出现在少文字求解题中.文字过少,学生无法透彻理解题目的意思而导致错误.

所以文字理解的困难导致解题错误的现象屡见不鲜,帮助学生克服文字理解的困难也是代数解题教学的重点之一.

4.因代数解题概念表征的缺失性导致的一类“错误”的心理分析

代数的很多概念——常量与变量、模式与函数、方程与不等式都有多方面的表征.以函数为例,函数是一个典型的“认知根源”,其中包含很多子概念,如定义域、值域、对应关系、自变量、因变量、常数、函数解析式、函数图像等.从“面”上看函数的表现方式包括作为形式概念的函数符号f(x),作为通俗易懂的函数机(输入—输出箱);既有代数的特征(函数解析式)、数的特征(函数的列表表示),也有几何特征.是否能够全面理解函数概念在一定程度上取决于处理函数多元表征的能力,而学生理解函数概念的多元表征却不是一件容易的事情.比如,学生可以将函数用图形直观表示,但是往往在解释图形表示的函数信息方面却总是感到困难.

案例3

图3

5.因代数解题经验思维的机械性导致的一类“错误”的心理分析

学生的错误很多时候是经验理解下的产物,如对某些判断准则的误解或经验性的错觉,这些都是机械的,而且经常性重复.一种经验理解是乍看到题目比较繁琐、复杂,就给自己找借口:“这种题目我肯定做不出来的!老师也知道以我的水平做不出来很正常!”所以堂而皇之交上空白大卷;一种经验性理解是解题策略的选择受到代数问题的常用解题策略影响,比如换元法、分类讨论、待定系数法等在代数问题解决中经常使用的方法,学生一遇到类似的问题结构立即就使用相应的方法,而没有从新问题的本身出发进行审视.

同样,学生一看到分段函数,马上警觉地进行机械的分类讨论,按自变量的范围2−a2≥0且a≥0、2−a2≥0且a＜0、2−a2＜0且a≥0以及2−a2＜0且a＜0分类讨论,再根据自变量的范围代入分段函数的解析式,进一步求出范围,四种情况讨论的结果要取并集.此题放在选择题里面,如此的分类讨论不仅浪费时间,而且过程容易出错,如是搞不清楚取交集还是并集,到最后还是竹篮打水一场空,所以分类讨论就不起作用.但其实,分段函数的两个解析式是熟知的二次函数,因此可以初步做出函数图像,画出图像就发现这个分段函数在R上是单增函数,如此可以直接运用单增函数的定义求解.当分类讨论显得苍白无力的时候,也有学生会发现不对劲而回过头来重新看问题,可是大部分学生机械的经验理解影响还是选择对分类讨论.

所以根据具体问题的具体条件审视并发现,摆脱经验性理解也能够提高代数问题解决的正确率和有效性.

二、对代数教学的启示

1.从强化符号变换抓起,简化代数思维的复杂性

代数思维之所以复杂,本质原因是没有抓住代数符号变换思维的规则推理.符号变换主要包括(1)代数式的赋值、化简和恒等变形的技能;(2)解方程和不等式的技能;(3)换元法.在代数教学中要巧用逆运算律,引导学生逆向思维.学生往往习惯于从正面入手推导,正向推理正确就满足了,而忽视逆向思维的应用,教师应把逆向思维方法渗透到教学中,让学生多经历逆向推导的矛盾性或否立性,熟悉代数思维的互逆性,明白矛盾关键点,复杂的思维会显得简单化,在代数解题时会全面寻找命题成立的条件,从而减少错误.

2.从发展数学语言入手,减少代数解题的外显失误

学生在初学时较难掌握数学语言的语义及句法规则,如果处理不好,会成为制约学生代数学习以及解题的重要因素.因此,教学中应重视数学语言的解释和分析.心理学家认为,理解数学语言表述的句子,应从三方面进行:数学语言的句法结构、数学语言表达的实际内容(称为语义内容)、句法与语义的关系.在教学中对符号体系应有必要的解释,确切的叙述和恰当的教授方法.一开始在教与学的过程中,要让学生意识到符号的使用是进行数学表达和数学思考的重要形式.再对数学语言中的自然语言和符号语言以及图形语言之间进行熟练地指导转换,请学生详述符号意义以及整合口语表达能力,尽量把心里所想的通过口语表达出来,接着引导学生克服口语与书写之间的转换困难,从而对数学符号的操作达到熟练程度.

3.从塑造意义建构突破,加强代数问题的文字理解

意义建构指解释或发现形式符号或表达式背后的数学结构、实际模型以及各种符号操作的意义和作用.反过来也需要从实际问题背景中建构数学结构和模型,通过符号操作解决背景问题.学生需要在教师的指导下,从某些具有数学背景或者和现实生活联系较密切的代数问题出发,通过学生自主研究、合作交流的方式,运用类似数学科研的方法获取知识并运用知识.同时,在研究过程中,学生经历代数知识的形成和发展过程,了解知识的研究背景和现实意义,在学习过程中发现数学美和体验学习数学的乐趣.最后通过代数思维能力的培养,提高学生的创新意识和实践能力,加强数学理解和文字背景的联系,引导学生从整体和局部各角度抓住文字的关键信息,从而提高代数解题正确性.

4.从重视数形结合强调,加强代数概念的多元表征

数学关系可被展示为不同的形式,包括可视(例如图表、图像或曲线图)、数字地(例如表格、清单)、符号和口头等形式.通常一个好的数学探索应包括许多这样的表征,因为每个形式都对理解呈现的思想有所贡献.教师在教学过程中应该重视多元表征的功效,去研究、去分析、去使用.符号在一个代数概念的定义和性质中必须强调变量可以有多种等价形式,而图像表征分析必须全面周到,不能简单考虑局部.

5.从引导观察分析总结,克服经验理解的机械性

数学教学的实质是解题教学,是分析问题与解决问题的教学.在教学活动中,普遍存在这样的现象:注重具体解题方法的讲授,而忽略了隐蔽在具体技巧后面的更丰富、更一般的思维方法的教学,致使学生做大量的习题,而在“新题”面前无所适从.所以教师要教会学生问题的处理方法,每遇到新题除了运用旧方法的同时也引导学生重新审视题目的意义建构,深入全面地发现突破口,并且将数学研究的全过程展示给学生,帮助学生从中领悟数学思想和数学方法,掌握数学的实质,进而克服经验理解的机械性.

[1]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009,第1版:325.

[2]孙萌.初中数学符号语言学习与教学探究[D].山东:山东师范大学, 2013.

[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社,2009,第1版:27.

[4]李静,刘志扬,宋乃庆.基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J].西南示范大学学报(自然科学版),2011,36(3):267-270.