折叠问题中折痕平移的探索

浙江省金华市第九中学(321000) 金建伟

新疆温宿县第五中学(843000)冯婷婷

折叠问题中折痕平移的探索

浙江省金华市第九中学(321000) 金建伟

新疆温宿县第五中学(843000)冯婷婷

折叠、轴对称问题的解决,离不开对折痕、对称轴的研究,结合折叠前后图形之间的全等,对应线段和对应角相等,对应点的连线被折痕垂直平分等知识来解决问题.如果折痕(对称轴)是固定不动的题型,考生相对容易解决.如果折痕(对称轴)是平移运动,折叠后的图形会随着折痕(对称轴)的变化而发生运动改变,要解决这类题,学生难在找出变换后的图形的位置特征,不知从何下手解题,无法解出题目.下面对涉及纸片折叠中有折痕(对称轴)平移进行研究,发现其规律,从而找出变换后图形的位置特征,让学生容易入手.

首先我们来研究当直线l(对称轴)沿水平向右(固定方向)平移时,固定点A的对称点A′有什么特征呢?

图1

如图1,根据轴对称的性质可知:AA′⊥l,AB=A′B必成立,由于点A固定,随着对称轴l水平向右(固定方向)平移,对称点A′始终在与对称轴l垂直的射线AA′上运动(AA′⊥l),速度是对称轴l平移速度的2倍.即当对称轴沿某一固定方向平移时,对称点在过固定点与对称轴垂直的射线上运动.

如果能发现折痕(对称轴)平移这一特征,在解题时过固定点画与对称轴垂直的射线,再来研究题目,可以达到降低难度目的.

图2

例1.(宁波中考数学第24题)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1//AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连结DG.设点D运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;

(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;

②当线段A′C′与射线BB1有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).

分析:第(3)小题的②问中当线段A′C′与射线BB1有公共点时,求t的取值范围.学生初看这题,很难想象对称线段A′C′随着对称轴DH的运动后的位置,学生较难入手.通过分析题目中有下划线的已知条件,如果能发现对称轴DH⊥AB,沿着射线AB的固定方向运动,固定点A的对称点A′满足AA′⊥DH,在射线AB上运动;固定点C的对称点C′满足CC′⊥DH的射线上运动(如图3),把这两条射线画出来,找出射线AA′、CC′与射线BB1的两个交点位置(如图4、5),就是线段A′C′与射线BB1有公共点的边界值了.这样学生就比较容易求出t取值范围了.

图3

图4

图5

图6

图7

图8

(1)当点O′与点A重合时,点P的坐标是___;

(2)设P(t,0),当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是___.

图9

图10

图11

图12

图13

图14

分析:第(2)小题,从考生反馈信息了解到:有的考生读完本题后,无从下手,直接放弃解本题;有的考生花了十几分钟只能算出部分答案,造成后面解题时间不够;做出该小题的几乎没有.如果考生能分析题目中有下划线的已知条件,发现对称轴l⊥OA,沿着直线OA的固定方向运动,固定点O、B经对称轴l轴对称后的像是O′、B′,分别在OO′⊥l、BB′⊥l的直线上运动(如图9、10).找出与双曲线的四个交点,就是取值范围的四个分界位置(如图11、12、13、14).接下来,转化成求直线OO′、BB′的解析式与反比例函数的解析式交点坐标,结合△POO′、△PBB′都是等边三角形,比较容易求出t取值范围了.

折叠问题中“折”是过程,“叠”是结果,其实质是轴对称变换,平面图形的折叠问题能够考查学生空间想象能力与动手操作能力及推理能力.这也是新课标对我们提出更高的要求.如果能发现折痕(对称轴)平移时对称点在一条定直线上运动的特征,在解决这类问题时,可以达到降低难度,学生易解目的.

所以教师在课堂教学过程中要多挖掘一些行之有效的例题和习题,发现问题的本质、规律,打开学生的思路,使学生的解题思路更为清晰,思维的应变能力得到充分的锻炼和培养.

[1]吴岩,破解2012年中考折叠问题的思路[J],中学教学参考,2013, (14):9-10.

[2]刘强,中考试题中的折叠问题[J],中小学数学(初中版),2014(6): 28-29,31.