椭圆中的垂直问题探究

张舒阳

一、问题的提出

（衡水中学质检）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为

求椭圆 的标准方程

若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求 的轨迹方程。

事实上，此例题不仅可以求出 点的轨迹方程，进一步研究发现，以此题为背景，可以得出一系列与椭圆有关的垂直的结论。

二、相关结果

结论1，已知椭圆 ，与圆 相切的直线 与椭圆交于 两点。

若 则

证明：设

即为

且有

所以 由于

即为

即为

则有 ，

则

有韦达定理，整理得：

原式

所以原式：

所以

即為

结论1中可以由 推得 ，若将题干不变，可以由 推得 吗？事实上，可以得到如下结果：

结论2：已知椭圆 ，与圆 相切的直线 与椭圆交于

两点。若 则 （ 为 到直线 距离）

证明 设 与 轴正半轴夹角为

令

即为 ① ②

①+②：

且

故

所以

即为

所以 。该证明方法用到极坐标思想，较为新颖。

结论1，2中证明 与 相互等价，可以由此推得双曲线中吗？事实上，可以得到如下结果：

结论3：已知双曲线 ，与圆 相切的的直线 与椭圆交于 两点。若 则 （ 为 到直线 距离）

证明（1）因为

则

那么

即为

设 与 轴正半轴夹角为

则有

即为 ① ②

①+②：

即

（2）设

即为

且有

所以 由于

即为

即为

则

有韦达定理，整理得：

原式

所以原式：

所以

即为

结论1，2的证明只是关于椭圆的垂直与切线部分问题，是否可通过某个上任意一点做椭圆的两条切线，而这两条切线又垂直呢？答案是肯定得，事实上，又可以得到如下结论。

结论4：有椭圆 ，过圆 上任一点 做椭圆的两条切线 交椭圆于 ，若 。则：

证明：设 ，切线为

即为

则有

所以

故

即

结论4中证明可由 推

到 ，若题干不变，

可以 由推得

吗？事实上可以得出如下结果：

结论5 有椭圆 ，过圆 上任一点 做椭圆的两条切线 交椭圆于 ，若 ，则：

证明：设 ，设切线为

注：巧构关于 的一元二次方程，利用韦达定理是降低证明此结论计算量的关键所在！

结论4，5的证明使结论1，2不再单一，从这点来说，结论也更完整了。