中考中有关“镶嵌”的几个问题的探究

2017-04-08 01:19王涛
中国校外教育(下旬) 2017年1期
关键词:八边形密铺正三角形

王涛

在近几年的中考题目中,出现了部分涉及《镶嵌》的内容,现行课本中涉及的内容不是太多,结合“探索用哪些正多边形镶嵌(密铺)地面?”从正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形等中的一种或几种图形的拼接、镶嵌中,结合多年的教学实践,对这部分内容从两方面做了阐述,希望对同行有所助益。

中考“镶嵌”问题难点考点一、重难点分析

中考题目往往结合现实生活中的实际问题,比如,由用地板砖铺地引入镶嵌问题,后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌?引发考生的思索,结合“哪几种多边形可以平面镶嵌”来切入考点。

笔者翻阅了前几年的教材,课本设计了有关《镶嵌》的一节课题学习的内容,教材通过提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌?设问层层递进,不断引发学生探究欲望,激发学生的认知冲突,从而引领学生完成课题的学习。因此,这部分内容的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程,难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌。

二、考点分析

从近几年的中考题目来看,这类题目多数出现在选择题或者填空题中,有时候也会以阅读理解的形式出现。在解题时要把握好以下两点:

一类:同一种多边形密铺

解题方法:在用同一种正多边形平铺时,若正多边形的每一个内角为m°,则用此正多边形实现平铺的条件是360m为整数,且此整数恰为该正多边形的个数。

例1.用正三角形能密铺吗?试说明理由。

解析:能,理由:

∵正三角形的每一个内角都是60°,而36060=60,

∴6个正三角形围绕在一点可以实现密铺。

例2.用正五边形可以密铺吗?试说明理由。

解析:不能,理由:

∵正五角形的内角和为(5-2)×180°=540°,每一个内角都是540°5=108°,而108°的整数倍得不到360°。

∴正五边不能实现密铺。

我练习,我收获:

1.能够实现密铺的正多边形是()

A.正方形B.正五边形C.正七边形D.正八边形

2.某人到瓷砖商店去购买一种能实现密铺的瓷砖,不可能是()

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

二类:运用几种多边形密铺

解题方法:若要用多种多边形无缝平铺或镶嵌(密铺),则各个多边形相拼,内角和应为360°,且边长相等。

例3.用正方形和正八边形能实现密铺吗?说明理由。

分析:本题应该分别计算正方形和正八边形每个内角的度数,然后利用多个正多边形密铺的条件进行判断。

解:能,理由:

∵正八边形的内角和为(8-2)×180°=1080°,每一个内角为1080°8=135°,正方形的每个内角为900。因此有135°×2+90°=360°.

∴能实现密铺。

总之,解决好这类题目,关键是要分清用几种图形密铺,除了上面的两条外,如果是只用一种图形的话,那只有正三角形、正方形和正六边形三种图形;如果用多种图形的话,特别要注意单独可以密铺的,结合时有可能不能密铺,相反,有些图形,单独不能密铺,而结合后却能够实现密铺。还要说明的是,对于单独的图形,除了同样的正三角形、正方形和正六边形能实现密铺外,任意同样的三角形、长方形、平行四边形、梯形也能实现密铺,主要还要用到平移、旋转的知识,这里不再赘述。

我练习,我收获:

3.一副美丽的图案,在某个定点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个是正八边形,那么另一个是()

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

4.已知一个正多边形的相邻的内角和外角的差为140°,问这个多边形能否单独镶嵌?如果不能,请说明理由。

答案:1.A2.C3.B

4.解:設这个正多边形的一个外角为x度,则和它相邻的内角为(x+140)度,所以有x+(x+140)=180,解得x=20,所以内角的度数是160°。

∵360160=2.25∴这个正多边形不能密铺。

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