浅谈二次函数在高中数学学习中的重要性

章亦迈

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在高中代数中有一块很重要的内容，那就是二次函数。二次函数概念非常简单，但它具有丰富的内涵和外延。可以作为函数来研究，同时可以结合图形来研究。它是最基本的初等函数，我们可以以它为素材，来研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等性质，还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系；结合图形，二次函数的图象是一条抛物线，它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。

我们在高中阶段，讨论这些形式的体形是非常多见的。二次函数复杂的纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出多种多样、复杂多变的数问题。在高中代数的函数及其图象这一章中，围绕变化、变量、运动等蕴含着丰富的辩证观点。通过研究恒量、变量变化和运动的关系，我们也能深刻的认识事物变化的哲学思想，对我们唯物主义世界观的建立同样具有很大的帮助。

一、常量与变量以及在运动轨迹的体现

我们在哲学的学习中，马克思主义辩证法告诉我们，世界是普遍联系的，也是不断运动、变化、发展的。常量是相对于某一变化或者某一变量的，是相对的，世界上没有绝对的常量。我们明白了这个道理，才能理解并准确假设其条件，确定参考系。既然运动是绝对的，静止时相对的，那么相对的常量也是存在的，而绝对的常量是不存在的。我们可以以匀加速直线运动为例，加速度是常量，而时间和路程是变量；而实际生活中，绝对的匀加速直线运动是不存在的，而随时可能发生的加速或者急速才是绝对存在的。这反映在图像中就呈现出曲线的变化，我们通过曲线的轨迹，可以直观的呈现在眼前，更好的理解这一数学模型的构建。

在学习过程中，我们通过抽象的数学表达式，建立形象的图像表达，使我们快速直观的理解其含义。

二、同一参考系中的运动与静止

前面我们讨论过，绝对运动与相对静止之间的辩证关系。我们研究速度，路程，时间的关系，就必须在同一参考系当中。例如我们看y=2xx+5这样一个表达式，可以画出其图像，但请想一想，图像看似静止，你是否可以画出完整的图像呢？显而易见，你永远无法画出其完整的图像，因为它是向两端无限延伸的，是不断运动变化发展的，表达式中变量x、y常量2、5都是在同一参考系中存在的。这一例证，也体现了整体与局部的辩证关系这一哲学思想。我们以局部的图象来表现整体的变化规律。

三、二次函数在高中数学中的重要性

高中数学阶段二次函数极其重要，想要完全掌握并且运用的炉火纯青就必须从基础一点点抓起，循序渐进做到得心应手。其重要性表现在：

1.知识点重要，高考出题比重大，出题形式多样

通常判断一个函数是不是二次函数，首先观察它的表达式，形如其中a不等于零。这个是它的一般表达式，另外常用的它还有顶点式跟交点式这两种，比如f（x）=2（x-1）（x-4）这个是交点式，1跟4分别是函数跟x轴的两个交点。

（1）利用表达式透露出的知识点

函数表达式中的abc这三个参数决定了函数的性质，二次函数的曲线是抛物线，以x=-b/2a对称轴，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）为定点的坐标，还可以根据函数二次项参数a的正负来判断曲线的开口方向，当参数a为正数时向上参数a为负数时向下。函数的判别式为m=bb-4ac，通过判别式中m的符号断定曲线跟横轴的交点个数，m为正时是两个交点，m为负时是没有交点，m为零时是一个交点，也就是两个交点重合，曲线相切于横轴。

以上是基础知识点，我们可以轻松地解决一些简单的计算题，比如函数是二次函数，知道函数跟横轴的交点，我们就可以利用待定系数法求解函数的确切表达式。

（2）二次函数的单调性

高中数学二次函数的学习，单调性是一个重点出题方向。二次函数的单调性以抛物线的对称轴为界限，分成两部分，一边单调递增，一边单调递减。我们学习过程中，理解自变量有范围比较困难，分段函数在某区间内单调递增或递减，此时我们利用图形来分析，形象直观容易理解。

（3）二次函数的极值特性

高中数学求极值是常见题型，已经提到二次函数的图像是抛物线，那么对于不限定自变量范围的函数，对称轴处的函数值便是函数的最大值或者最小值，我们要把函数的基础知识了如指掌，做起题来才事半功倍。。

2.二次函数应用广泛

（1）与一元二次不等式接轨

中学數学的学习过程中，一元二次不等式的内容也是一个重要的知识点，这也就要求我们学习一元二次函数要打下坚实的基础。我们根据一致的不等式求解范围。第一步首先看判别式。第二步把不等式暂且看做等式，求解出变量值。第三步是依据二次项正负判断开口，画出大致图像。最后看图像找所要求的变量范围。如果不能掌握二次函数，对于此类题目我们就会束手无策。

（2）与求函数的定义域、值域相融合

例如：已知函数y=lg（xx+2mx+2），求：如果函数的定义域是全部实数集，试得出m范围；如果值域是全部实数集，试得出m范围。

第一问：问题等价于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于负根号2小于正根号2。

第二问：问题等价于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根号2或者m小于等于负根号2。

此类问题看似是对数函数，许多同学看了就犯迷糊，感觉无从下手，主要原因还是对二次函数撞我不到位。

四、结束语：

经过以上探讨，我们可以看出高中二次函数不仅是我们在考试中的重点，还与许多相关知识点密不可分，若果掌握不到位，就会影响整个高中阶段数学的学习。更重要的是二次函数的基础内容往往是哲学思想的体现，在我们整体构建数学思维上帮助很大，所以二次函数在我们高中的数学学习中应该重点、熟练掌握。