借助数学实验，培养运算能力

江苏省苏州市吴江区庙港中学 姚海峰

借助数学实验，培养运算能力

江苏省苏州市吴江区庙港中学 姚海峰

数学实验是一种以学生为主体的学习方式，数学学习是动手动脑主动构建的过程。运算能力作为数学学科的核心概念，是数学和其他学科学习的重要基础，指向学生的核心素养。那么，如何正确认识运算能力以及数学实验与运算能力之间的关系、作用呢？如何对运算能力有一个正确的认识呢？

一、对运算能力的基本认识

1．运算能力的定义

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。它是中学数学课程对学生着重培养和发展的三种数学能力之一(还有逻辑思维能力、空间想象能力)，是数学学习的重要基础，对发展其他能力也有着重要的支撑作用。

2．运算能力的特征

运算能力不仅是一种计算技能，更是一种思维能力，是两者的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，需要分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，检验运算结果，使运算符合算理。正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。

二、数学实验与运算能力的关系

1．数学实验与运算能力相关的特征体现

数学实验是指为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的道具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与实际操作为特征的数学验证或探究活动。它是动手动脑“做”数学的一种数学学习活动。

2．实验特征对运算能力的发展产生的影响

数学实验强调主体在思维引领下的实践操作，是一种以问题解决为驱动的自主学习方式，可以有效促进学生运算能力的培养与发展。在实验情境中，学生通过操作、观察、交流、思考，有利于数学概念、数学定理的构建，有利于加深对算理、算法的理解。数学实验一般经历问题情境——方案设计——实施调整——问题解决的全过程，学生从中可以感悟数学思想，积累活动经验，从而提升运算能力。

三、数学实验对运算能力所包含的若干方面产生的影响

1．数学实验有助于学生理解数学概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学教学中，掌握数学的基本概念是解决问题的基础.通过数学实验有时能很好地理解数学基本概念。

以乘方为例，是幂的运算、整式乘除的基础。常规教学中，学生学习乘方时经常会犯如23＝6，-32＝9等错误，究其原因，是学生对乘方这一数学基本概念理解不透，混淆乘方和乘法的概念。为此设计数学实验如下：首先，请学生估算、测量数学教科书的厚度，计算50本数学教科书和教科书中一页纸的厚度，感受乘除运算与数值（厚度、高度）变化之间的内在联系。其次，计算22＝ ______ ，23＝，24＝______ ，25＝_____，26＝_______ ……最后提问：一张厚度为0.1mm的纸，折叠几次，其厚度就能超过一本数学教科书的厚度?想象一下，如果将这张纸对折50次，那么总厚度将会达到多少?你有何感想?（假设纸足够大，地球到月球的距离约为3.84×105km）

本实验是为帮助学生理解“乘方”的意义而设计的。实验以学生的估算、测量、计算等操作活动为载体，通过折纸，估算、计算折叠后纸张的厚度理解乘方的意义，感受乘方运算与数值（厚度）变化之间的内在联系。最后对折叠50次后纸张厚度的估算与计算的实际厚度的“悬殊”之差，对学生的认知产生了强烈冲击，引发学生思考乘方的本质含义，深刻理解乘方的结果以几何级数的速度变化。这一过程就是“做中学”，“学中思”，对知识主动构建。

2．数学实验有助于学生掌握基本性质

初中数学教学中，基本性质是数学运算的基本原理，是数学变化的基本依据，包括很多，如等式基本性质、不等式基本性质、平行线基本性质、三角形基本性质、四边形基本性质、平移与旋转基本性质等等，掌握数学基本性质对学习数学极为重要。借助数学实验，可以更好地掌握基本性质。

例如通过配置糖水来探索分式的性质，实验如下：

首先，配置糖水，感受甜度。

把糖放进一个大玻璃杯A中，加水，使糖充分溶化并摇匀，得到一大杯糖水。我们用式子表示糖水的甜度（a表示糖水中糖的质量，b表示糖和水的总质量）。将大玻璃杯中的糖水倒入3个小杯中，3个小杯中糖水的甜度与原先大杯中的甜度相同，我们可以用式子来表示。

（1）从大玻璃杯A中舀出一勺糖水，放入另一大玻璃杯B中，此时大玻璃杯B中的糖水甜度如何？ 若舀出2勺、3勺、4勺呢？请你用数学式子描述你的结论。

（2）从大玻璃杯A中任意倒出3小杯糖水，再将这3小杯糖水全都倒进一个空的大玻璃杯C中，混合后的糖水甜度如何？ 请你用数学式子表示大玻璃杯C中糖水的甜度与原先3小杯糖水甜度之间的关系。

其次，添加糖水，感受变化。

（1）在其中一个盛有糖水的小杯中再加入一些糖，此时糖水甜度会如何变化？请你用数学式子来描述。

（2）在另一个盛有糖水的小杯中再加入一些水，此时糖水的甜度又会如何变化？ 类似地，请你用数学式子来描述。

最后，数学思考，拓展迁移。

在你所得到的数学式子中，其各个字母表示的都是正数，那么如果各个字母都是负数，这些数学式子仍然成立吗？ 说说你的理由。

数学来源于生活，本实验以学生的生活经验——糖水的甜度为起点，将糖水的甜度数学化——用分式表示；根据同一大玻璃杯中糖水的“分”与“合”不改变糖水甜度的生活经验，再次数学化——分式的基本性质：；又可得等比性质，由浅入深、由表及里、由现象到本质、由具体到抽象地再现了分式中的相等关系。其次，通过加糖、加水实验，从生活感受抽象出数学式子，也就是分式中的不等关系。最后，反思从具体事实到形式化抽象的数学过程，完成从“具体的模型——糖水实验”到“抽象的模式——分式的基本性质、等比性质”的发现全过程。

3．数学实验有助于优化学生解题策略

例如：如何在给定的制作材料下设计容积尽可能大的包装纸盒?

首先，操作比较。

取一张正方形纸片，按下列图示的方式进行操作：

（1）与同伴制作的无盖长方体纸盒进行比较，估计谁制作的无盖长方体纸盒容积要大一些?

（2）猜想在什么情况下，围成的无盖长方体纸盒的容积会尽可能地大?

其次，计算发现长为多少时所围成的无盖长方体纸盒的容积会尽可能地大。

（1）若所取的正方形纸片的边长为10cm，探索剪去的小正方形的边长与长方体的底面边长及长方体纸盒的容积之间的关系，填入下表。

长方体纸盒的容积（cm3）0.5 9 40.5 1 8 64.0 1.5 7 73.5 2 6 72 2.5 5 62.5剪去的小正方形的边长（cm）长方体的底面边长（cm）

由上表不难发现，当剪去的小正方形的边长在1.5cm左右时，其围成的无盖长方体纸盒的容积会尽可能地大。

在上述计算过程中，你发现该纸盒容积是如何变化的? 你有何猜想? 你还可以继续探究下去吗? 试试看！

长方体纸盒的容积（cm3）1.1 7.8 1.2 7.6 1.3 7.4 1.4 7.2 1.5 7.0 1.6 6.8 1.7 6.6 1.8 6.4剪去的小正方形的边长（cm）长方体的底面边长（cm）

（2）若所取的正方形纸片的边长是30cm，探究当剪去的小正方形边长是多少时，所围成的无盖长方体纸盒的容积最大。

最后，实验思考。

总之，数学实验可以帮助学生更好地理解与运算相关的概念、法则与运算算理，从中获取解决问题的经验与策略，从而促进学生运算能力的发展。