立体几何中求体积问题的通法研究

李旭

【摘要】本文主要结合案例解析一下关于立体几何中求体积问题的几种方法，试图探索求空间几何体的体积问题的通法.

【关键词】体积；通法；割补法

数学解题通法是解决一类问题时可以采用的共同方法，高考在立体几何知识的考查中，常常涉及求空间几何体的体积问题，对这类问题求解方法较多，现结合案例解析一下关于立体几何中求体积问题的几种方法.

案例如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与面AC的距离为2，则该多面体的體积为（）.

A.92

B.5

C.6

D.152

（一）分割法

根据该几何体自身不是常规柱、锥、台体的现象，考虑使用分割的办法将这个多面体分割成常规几何体.结合已知条件，考虑利用EF∥AB，及EF与面AC的距离为2，连接EB，EC，那么多面体ABCDEF就转化成了四棱锥E-ABCD和三棱锥F-EBC的组合体.再通过适当转化即可求出体积了.

如图，连接EB，EC，则四棱锥E-ABCD体积VE-ABCD=13×32×2=6.

∵AB=2EF，EF∥AB，

∴S△EAB=2S△BEF，

∴VF-EBC=VC-EBF=12VC-ABE=12VE-ABC

=12×12VE-ABCD=32，

∴V=VE-ABCD+VF-EBC=6+32=152.

注：当然，分割多面体ABCDEF的方式不止这一种，仅利用这个方式说明可以使用分割法求几何体体积.大家不妨尝试一下，还可以怎样分割呢？

事实上，根据刚才方法一的前半段计算，再结合这个题目是选择题，可以使用下面的估算法.

（二）估算法

由方法（一），该多面体体积一定大于6，根据选项，只能选D.

有了方法一的引导，在分割多面体ABCDEF为常规几何体的过程中，还可以尝试下面的分割方法.

（三）分割法

设G，H分别为AB，CD的中点，连接EG，GH，EH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH-FBC.

由题意得，VE-AGHD=13SAGHD×2=13×3×3×12×2=3，

VEGH-FBC=3VB-EGH=3VE-BGH=3×12VE-GBCH

=32VE-AGHD=32×3=92.

∴V=VE-AGHD+VEGH-FBC=3+92=152.

除了对几何体进行分割外，还可以尝试将这个不规则几何体补成规则几何体，比如，下面这个方法.

（四）补形法

延长EF至G，使FG=AB=3，连接AG，DG，EC，EB，则多面体BCF-ADG为斜三棱柱，其直截面面积

S=12×2×3=3，则

VBCF-ADG=S·AB=9.

又∵面BCF∥面ADG，E为FG中点，

∴2VE-ADG+VE-ABCD=VBCF-ADG，

即2VE-ADG=9-13×3×3×2=3，

∴VE-ADG=32，

∴V=VBCF-ADG-VE-ADG=9-32=152.

通法具有发展性、概括性和多样性，本题是一道非典型多面体，主要考查对图形的分解、组合与变形的能力，是一道考查创新意识的有效题型；求解有关体积问题时，可以参考一下策略：① 等体积变换；② 分割求和；③ 补体（补形）；④ 还台为锥.此题还可以使用估算法或特殊化法.

【参考文献】

[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2009.

[2]秦德生.高考与大学自主招生数学考点大全与真题解析[M].长春：东北师范大学出版社，2014.