基于后悔理论和证据理论的犹豫模糊决策方法

朱 轮

(常州大学 信息科学与工程学院，江苏 常州 213016)

(*通信作者电子邮箱3278191370@qq.com)

基于后悔理论和证据理论的犹豫模糊决策方法

朱 轮*

(常州大学 信息科学与工程学院，江苏 常州 213016)

(*通信作者电子邮箱3278191370@qq.com)

针对属性值为犹豫模糊信息、属性权重和自然状态发生概率完全未知的多属性群决策问题，考虑决策者心理行为，提出一种基于后悔理论和证据理论的多属性群决策方法。首先，运用证据理论计算各自然状态发生的概率；然后，基于区间模糊矩阵、t-分布估计以及得分函数矩阵确定属性信息的效用值，进而依据后悔理论得到每个自然状态下的感知效用矩阵；通过加权算术平均得到综合感知效用矩阵，并依据方案综合感知效用的大小确定方案优劣排序；最后，将所提方法运用于对投资公司的选择实例中。实验结果表明，虽然所提方法与现有方法得到的决策结果相同，但是所提方法在决策过程中只需考虑较少数量的参数。对比分析实验表明，所提方法得到的决策结果合理、可靠，且能反映实际决策情况。

犹豫模糊集；后悔理论；证据理论；综合感知效用；多属性群决策

0 引言

决策是人们为了达到某种目的或者完成某种任务而进行的有意识、有选择的行动,其本质是依据决策者的价值和偏好而对一组方案进行判别和优劣选择的过程[1]。

作为决策的主体,人类因为其自身思维的局限性和知识能力的不全面产生的不确定性,同时由于事物本身的复杂性和模糊性,导致决策者在决策过程中难以用精确数描述决策信息,而是以不确定性的形式表示。Zadeh[2]在深入分析模糊性和精确性相互对立的基础上,于1965年提出了模糊集理论。模糊集理论使得数学理论与应用的研究范围从精确问题拓展到含有模糊现象的领域,是解决复杂系统问题的有力工具之一。模糊集理论的核心思想是把取值为1和0的特征函数扩展到可在闭区间[0,1]中取任何值的隶属函数。基于模糊集的决策理论与方法已经获得了众多的研究成果,并广泛地应用于各个领域[3-5]。之后,人们提出了模糊集的几种广义形式,包括：区间模糊集[6]、直觉模糊集[7]、区间直觉模糊集[8]等。然而在决策过程中,决策者们经常表现出犹豫和优柔寡断,而且各自不能说服对方,导致最终的决策结果难以达成一致。于是,Torra[9]提出了模糊集的另一种广义形式,即犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS),其中的每个基本单元称为犹豫模糊元,表示所有决策者给出的决策信息的集合。

现有的关于处理多属性决策问题的方法主要分为两大类,即完全理性的多属性决策方法和有限理性的多属性决策方法。完全理性的多属性决策方法大都建立在经典期望效用理论之上,主要包括：基于距离测度的方法、信息集成算子和序关系模型[10]。

另一类的多属性决策方法就是考虑到决策者的行为是有限理性的,这使得决策过程更加符合现实情况,这类方法主要是基于前景理论、后悔理论进行研究。针对决策者给出单一与组合指标期望情形的多指标决策问题,文献[11]建立了一种基于前景理论的决策方法,并通过人才招聘选择问题分析了该方法的可行性；Liu等[12]针对区间概率条件下属性信息为不确定语言信息的风险决策问题,基于前景理论提出了一种多属性决策方法；在区间直觉模糊环境下,高建伟等[13]利用前景理论构建前景决策矩阵,建立以综合前景值最大化为目标函数的最优化模型求解属性权重完全未知和部分已知的多准则决策问题；文献[14]提出了基于前景理论的三参数区间灰数型群体灰靶决策模型。但是运用前景理论需要事先给出决策参考点的信息,同时计算公式中涉及较多的不确定参数,而不同的参数将会对决策结果产生不同的影响。因此,在考虑决策者心理行为的情形下,需要探究新的多属性决策方法,而由Bell[15]和Loomes等[16]提出的后悔理论也是一种考虑决策者心理行为的决策理论,其与前景理论相比具有计算简单、不需要给出决策参考点等优点,因此在应用上具有一定的优势。针对风险型多属性决策问题,张晓等[17-18]基于后悔理论分别建立了决策方案相对于理想点和方案两两比较的感知效用矩阵,并依据每个方案的综合感知效用进行优劣排序；张世涛等[19]运用后悔理论研究了方案对多维偏好信息下的模糊多属性群决策问题；针对属性信息为拓展的灰数,Zhou等[20]将后悔理论与逼近于理想解排序法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)相结合,提出一种灰数随机的多属性决策模型；郭三党等[21]建立了一种基于后悔理论的多目标灰靶决策方法，用于处理属性值为区间灰数、权重信息不确定的决策问题。

针对突发事件发展演变存在多种可能的应急响应风险决策问题,袁媛等[22]提出一种考虑后悔规避的突发事件应急响应的风险决策方法,但是该决策问题的决策信息是由一个决策者提供的,而在实际的决策中,由于客观世界复杂性和决策者自身能力的限制,可能会导致单个决策者提供的决策信息主观性太强,从而使得决策结果不一定客观合理,因此越来越多的决策问题都需要一群决策者同时进行决策,并提供各自的决策信息,而运用犹豫模糊集可以将某一方案在某一属性下的决策信息全面准确地表述出来,因此本文考虑犹豫模糊环境下的多属性群决策问题。文献[23]基于前景理论构建了一种新的犹豫模糊多属性决策方法,但是该方法存在两个不足之处：一方面,在运用前景理论的过程中,包含的风险态度系数和损失规避系数等参数的数目较多,这容易导致在决策过程中出现如何选择合适的参数进行决策、选取什么样的参数使得决策更为合理可靠等问题；另一方面,文献[23]中的方法直接给出了每种自然状态发生的概率,但是在复杂环境下是很难实现的,通常情况下决策者只能获取与自然状态发生概率相关的信息,而证据理论是解决这类问题的有力工具。因此,为了全面考虑每个决策者的属性信息,同时考虑到决策者选择方案时具有后悔规避性以及各自然状态发生概率的不确定性,设计一种犹豫模糊环境下基于后悔理论和证据理论的多属性群决策方法具有一定的必要性和研究意义。然而,相关研究还较少。鉴于此,本文将后悔理论和证据理论相结合,提出一种犹豫模糊多属性群决策方法。该方法运用证据理论计算各个自然状态发生的概率,利用后悔理论得到各自然状态下的感知效用矩阵,从而通过加权平均确定综合感知效用矩阵,进而获得各方案的综合感知效用,并对各方案进行优劣排序。最后通过实例验证提出的群决策方法是可行的和有效的。

1 相关知识

1.1 犹豫模糊集的相关概念

定义1[9]定义在X={x1,x2,…,xn}上的犹豫模糊集(HFS)为A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X},其中hA(xi)表示xi属于集合A的几种隶属度,其是由[0,1]上不同的实数构成的集合。称h=hA(x)={γ|γ∈hA(x)}为一个犹豫模糊元(Hesitant Fuzzy Element, HFE),犹豫模糊元h的补为hc={1-γ|γ∈h}。

对于两个任意的HFE,给出如下方法判定它们之间的大小关系。

1.2 后悔理论

在现代越来越复杂的环境下,决策者在决策过程中不仅考虑选择方案后获得的结果,还考虑假设选择其他方案后可能得到的决策结果。根据后悔理论可知,决策者的感知效用函数由当前决策结果的效用函数和与其他决策结果比较的后悔-欣喜函数两部分组成。在Bell[15]和Loomes等[16]将后悔理论应用于两个方案的选择问题之后,文献[25]将后悔理论拓展应用于若干个备选方案的选择问题中,并且得到了广泛的应用。

假设Y={Y1,Y2,…,Ym}为一组备选方案,yi为选择方案Yi所获得的结果,则决策者对方案Yi的感知效用为：

ui=v(yi)+R(v(yi)-v(y*))

(1)

其中：y*=max{y1,y2,…,ym}；v(yi)表示决策者能从方案Yi的结果yi中获得的效用；R(v(yi)-v(y*))≤0表示决策者选择方案Yi而放弃方案Y*的后悔值。这里函数R(·)是一个单调递增的凹函数[15],满足R′(·)>0,R″(·)<0且R(0)=0。

1.3 证据理论

作为一种不确定性的推理方法,证据理论能够为处理不确定信息问题提供一种非线性决策信息的融合方法[26]。假设Θ={θ1,θ2,…,θl}为某一决策问题的所有可能结果或可能的状态,集合Θ的所有子集构成了幂集2Θ,则2Θ中共有2l个元素。

注意到,当基本信度分配函数f仅仅定义在单点子集上时,则其将转化成概率形式,即把子集上的基本信度分配函数赋值在单个元素上。已有很多学者提出了不同的将基本信度分配函数转化为概率的方法,其中文献[28]基于平均分配提出了如下Pignistic概率转换方法：

(2)

其中：θ是集合Θ={θ1,θ2,…,θl}中的元素,B是2Θ中包含元素θ的子集。

2 基于后悔理论和证据理论多属性群决策模型

2.1 犹豫模糊多属性群决策问题描述

2.2 设计方案感知效用值的计算方法

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

考虑到随机变量的特征,令

(8)

(9)

(10)

2.3 群决策模型的建立

针对现实中的多属性群决策问题,由于客观世界和决策者们自身的主观影响,使得决策者无法事先获得每个自然状态发生的概率和各属性的权重大小。因此,本节将首先运用证据理论计算群决策问题中各自然状态发生的概率,然后基于后悔理论和最优化模型构建犹豫模糊多属性群决策方法,最后选择综合感知效用最优的备选方案。

基于后悔理论和证据理论,构建犹豫模糊多属性群决策方法,具体步骤如下：

步骤1 群决策矩阵标准化。

步骤3 运用证据理论计算自然状态θt发生的概率pt。

依据证据理论中的Pignistic概率转换方法,计算每个自然状态θt发生概率pt的计算公式如下：

(11)

其中：θt是集合Θ={θt|t∈T}中的元素,B是幂集2Θ中包含自然状态θt的子集。

步骤4 建立综合感知效用矩阵U=(uij)m×n。

(12)

步骤5 基于最优化模型确定属性权重向量。

(13)

步骤6 计算备选方案Yi的综合感知效用ui(i∈M),其中：

(14)

步骤7 依据各备选方案的综合感知效用值对各方案进行优劣排序。若综合感知效用值越大,则对应的决策方案Yi越优。

3 案例分析

表1 市场环境好(θ1)时的决策矩阵H1

表2 市场环境中(θ2)时的决策矩阵H2

表3 市场环境差(θ3)时的决策矩阵H3

为了解决该多属性群决策问题,下面利用上文构建的决策方法选择出在所有自然状态下综合表现最优的公司进行投资,具体过程如下:

步骤2 依据定义2,计算得到三种市场环境下的犹豫模糊得分函数矩阵s(Ht)(t=1,2,3)：

步骤3 运用式(11)得到三种自然状态发生的概率分别为p1=0.450,p2=0.375,p3=0.175。

再运用式(12)得到综合感知效用矩阵U=(uij)5×4：

步骤6 依据式(14),计算各备选方案Yi(i=1,2,3,4,5)的综合感知效用分别为：u1=-0.103 0,u2=0.051 3,u3=0.154 9,u4=0.017 6,u5=0.271 0。

步骤7 因为u5>u3>u2>u4>u1,则五家公司的优劣顺序为Y5≻Y3≻Y2≻Y4≻Y1(“≻”表示前者优于后者),因此该投资银行应该选择旅游公司Y5进行投资。

针对上述群决策问题,接下来将运用文献[10]中提出的基于前景理论的犹豫模糊多属性决策方法进行简要求解,并分析本文方法的优势。

文献[10]提出的决策方法,首先计算各个自然状态下所有方案在所有属性下发生的概率权重函数；其次依据决策者给定的决策参考点,计算出各种自然状态下每家公司在所有属性下的前景函数值；然后运用题目中给定的属性权重向量,依据加权算术平均的原则,计算各家公司的综合前景价值。由于版面的限制,下面仅以求解食品公司Y1的综合前景价值v1为例说明具体的决策过程。

类似可计算得到v2=0.204 4,v3=0.315 5,v4=0.271 7,v5=0.399 6；最后依据综合前景价值的大小对决策方案进行优劣排序,由于v5>v3>v4>v2>v1,则有这五个公司的优劣排序为Y5≻Y3≻Y4≻Y2≻Y1。于是该投资银行应该选择投资旅游公司Y5。

由上述分析可知,虽然运用本文的群决策方法得到的公司排序结果与应用文献[10]和文献[23]中的决策方法得到的公司排序结果稍有不同,但是最合适进行投资的公司均为旅游公司Y5,这说明了本文提出的群决策方法是可行的。同时,本文的决策方法存在以下优点：

1)本文提出的群决策方法中属性信息效用值是依据决策者提供的决策信息和t-分布估计方法计算得出的,与决策者给定决策参考点相比,本文算法更加客观合理。

2)在群决策计算过程中,应用后悔理论时,不需要计算或要求决策者给定决策参考点。文献[23]中的决策方法是基于前景理论得到的,而在建立前景价值综合矩阵的过程中需要考虑如何选取风险态度系数和损失规避系数等参数,这些参数主要是由决策者给定的,因此将使得决策结果带有较多的主观性,导致不能得到客观可靠的决策结果。但是后悔理论涉及的计算公式中参数个数比较少,使得计算时的不确定性减小,从而得到的决策结果更为合理可靠。

3)本文的决策方法运用证据理论处理自然状态发生的概率未知的不确定状况,使得决策结果更能反映实际情况。

4 结语

近些年来,随着后悔理论和证据理论的发展,使得它们得到越来越多学者的关注和研究。本文设计了一种犹豫模糊环境下基于后悔理论和证据理论的多属性群决策方法。该群决策方法首先基于证据理论中的Pignistic概率转换方法计算每种自然状态发生的概率；然后运用转换后的区间模糊矩阵、t-分布估计以及得分函数矩阵确定属性信息的效用值,进而依据后悔理论得到各自然状态下的感知效用矩阵；通过简单加权平均计算综合感知效用矩阵,并以所有方案的综合感知效用最大化为目标函数建立最优化模型确定属性权重,从而得到每个备选方案的综合感知效用值,进而对决策方案进行优劣排序。通过投资银行选择公司进行投资的实例验证了本文提出的群决策方法的可行性和有效性。在后续研究中,针对评价信息和属性权重为犹豫模糊语言信息的群决策问题以及后悔理论中后悔规避系数的选择方法,可以作进一步考虑和研究。

References)

[1] 金飞飞,倪志伟.基于犹豫模糊偏好关系的雾霾影响因素评价[J].模式识别与人工智能,2015,28(9):839-847.(JIN F F, NI Z W.Factors evaluation of fog-haze weather based on hesitant fuzzy preference relations [J].Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2015, 28(9): 839-847.)

[2] ZADEH L A.Fuzzy sets [J].Information and Control, 1965, 8(3): 338-356.

[3] KACPRZYK J, ORLOVSKI S A.Optimization Models Using Fuzzy Sets and Possibility Theory [M].Berlin: Springer, 1987: 226-235.

[4] 汪峰,毛军军,黄超.基于熵和协相关度的直觉模糊多属性决策方法[J].计算机应用,2015,35(12):3456-3460.(WANG F, MAO J J, HUANG C.Multi-attribute decision-making method of intuitionistic fuzziness based on entropy and co-correlation degree [J].Journal of Computer Applications, 2015, 35(12): 3456-3460.)

[5] DUBOIS D J.Readings in Fuzzy Sets for Intelligent Systems [M].San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, 1993: 137-143.

[6] TURKSEN I B.Interval valued fuzzy sets based on normal forms [J].Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(2): 191-210.

[7] ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.

[8] ATANASSOV K T, GARGOV G.Interval-valued intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems, 1989, 31(3): 343-349.

[9] TORRA V.Hesitant fuzzy sets [J].International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25(6): 529-539.

[10] 朱丽,朱传喜,张小芝.基于前景理论的犹豫模糊风险型多属性决策方法[J].统计与决策,2014(17):68-71.(ZHU L, ZHU C X, ZHANG X Z.Hesitant fuzzy risky multi-attribute decision making method based on prospect theory [J].Statistics & Decision, 2014(17): 68-71.)

[11] 刘云志,樊治平.基于前景理论的具有指标期望的多指标决策方法[J].控制与决策,2015,30(1):91-97.(LIU Y Z, FAN Z P.Multiple attribute decision making considering attribute aspirations: a method based on prospect theory [J].Control and Decision, 2015, 30(1): 91-97.)

[12] LIU P, JIN F, ZHANG X, et al.Research on the multi-attribute decision-making under risk with interval probability based on prospect theory and the uncertain linguistic variables [J].Knowledge-Based Systems, 2011, 24(4): 554-561.

[13] 高建伟,刘慧晖,谷云东.基于前景理论的区间直觉模糊多准则决策方法[J].系统工程理论与实践,2014,34(12):3175-3181.(GAO W J, LIU H H, GU Y D.Interval-valued intuitionistic fuzzy multi-criteria decision-making method based on prospect theory [J].Systems Engineering—Theory & Practice, 2014, 34(12): 3175-3181.)

[14] 闫书丽,刘思峰,吴利丰.一种基于前景理论的三参数区间灰数型群体灰靶决策方法[J].控制与决策,2015,30(1):105-109.(YAN S L, LIU S F, WU L F.A group grey target decision making method with three parameter interval grey number based on prospect theory [J].Control and Decision, 2015, 30(1): 105-109.)

[15] BELL D E.Regret in decision making under uncertainty [J].Operations Research, 1982, 30(5): 961-981.

[16] LOOMES G, SUGDEN R.Regret theory: an alternative theory of rational choice under uncertainty [J].The Economic Journal, 1982, 92(368): 805-824.

[17] 张晓,樊治平,陈发动.基于后悔理论的风险型多属性决策方法[J].系统工程理论与实践,2013,33(9):2313-2320.(ZHANG X, FAN Z P, CHEN F D.Method for risky multiple attribute decision making based on regret theory [J].Systems Engineering — Theory & Practice, 2013, 33(9): 2313-2320.)

[18] 张晓,樊治平,陈发动.考虑后悔规避的风险型多属性决策方法[J].系统管理学报,2014,23(1):111-117.(ZHANG X, FAN Z P, CHEN F D.Risky multiple attribute decision making with regret aversion [J].Journal of Systems & Engineering, 2014, 23(1): 111-117.)

[19] 张世涛,朱建军,刘小弟.方案对多维偏好信息下基于后悔理论的群决策方法[J].中国管理科学,2014,22(Supp.):33-41.(ZHANG S T, ZHU J J, LIU X D.Group decision-making method based on regret theory under multidimensional preference information of pair-wise alternatives [J].Chinese Journal of Management Science, 2014, 22(Supp.): 33-41.)

[20] ZHOU H, WANG J-Q, ZHANG H-Y.Grey stochastic multi-criteria decision-making based on regret theory and TOPSIS [J].International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2015, 7(33): 1-14.

[21] 郭三党,刘思峰,方志耕.基于后悔理论的多目标灰靶决策方法[J].控制与决策,2015,30(9):1635-1640.(GUO S D, LIU S F, FAN Z G.Multi-objective grey target decision model based on regret theory [J].Control and Decision, 2015, 30(9): 1635-1640.)

[22] 袁媛,刘洋,樊治平.考虑后悔规避的突发事件应急响应的风险决策方法[J].系统工程理论与实践,2015,35(10):2630-2636.(YUAN Y, LIU Y, FAN Z P.Risk decision making method for emergency response considering regret aversion [J].Systems Engineering — Theory & Practice, 2015, 35(10): 2630-2636.)

[23] 马庆功.基于前景理论的犹豫模糊多属性群决策方法[J].计算机工程与应用,2015,51(24):249-253.(MA Q G.Hesitant fuzzy multi-attribute group decision-making method based on prospect theory [J].Computer Engineering and Applications, 2015, 51(24): 249-253.)[24] XIA M M, XU Z S.Hesitant fuzzy information aggregation in decision making [J].International Journal of Approximate Reasoning, 2011, 52(3): 395-407.

[25] QUIGGIN J.Regret theory with general choice sets [J].Journal of Risk and Uncertainty, 1994, 8(2): 153-165.

[26] 杜元伟,石方园,杨娜.基于证据理论/层次分析法的贝叶斯网络建模方法[J].计算机应用,2015,35(1):140-146.(DU Y W, SHI F Y, YANG N.Construction method for Bayesian network based on Dempster-Shafer/analytic hierarchy process [J].Journal of Computer Applications, 2015, 35(1): 140-146.)

[27] 阮闪闪,王小平,薛小平.基于证据理论信任模型的众包质量监控[J].计算机应用,2015,35(8):2380-2385.(RUAN S S, WANG X P, XUE X P.Crowdsourcing quality control based on reputation model of Dempster-Shafer theory [J].Journal of Computer Applications, 2015, 35(8): 2380-2385.)

[28] SMETS P, KENNES R.The transferable belief model [J].Artificial Intelligence, 1994, 66(2): 191-234.

This work is partially supported by the Jiangsu Province Science and Technology Support Program (Industrial) Key Project (BE2013005- 3).

ZHU Lun, born in 1974, M.S., senior engineer.His research interests include electronic information technology, intelligent decision making.

Hesitant fuzzy decision-making method based on regret theory and evidence theory

ZHU Lun*

(SchoolofInformationScienceandEngineering,ChangzhouUniversity,ChangzhouJiangsu213016,China)

Under the hesitant fuzzy environment, considering the decision makers’ psychological behavior, a method based on regret theory and evidence theory was proposed to cope with Multi-Attribute Group Decision Making (MAGDM) problems that the attribute value is hesitant fuzzy information, the attribute weights and probability information of situation are completely unknown.First, evidence theory was utilized to calculate the probability information of the states.Then, based on the interval fuzzy matrices, the estimation oft-distribution and the score function matrices, the utility values of attribute values were determined.Moreover, by using regret theory, the decision makers’ perceived utility values were obtained.The overall perceived utility of each alternative was acquired on the basis of the weighted arithmetic mean.After that, all the alternatives were ordered.Finally, the proposed approach was applied to a numerical example about the selection of enterprise.The experimental results show that the proposed method can get the same results as the existing methods, but only a small number of parameters needed to be considersed in the decision process.The results of comparative analysis domonstrate that the decision making results obtained by the proposed method are reasonable and reliable, which can reflect the actual situation.

Hesitant Fuzzy Set (HFS); regret theory; evidence theory; overall perceived utility; multi-attribute group decision making

2016- 07- 11;

2016- 09- 08。 基金项目:江苏省科技支撑计划(工业)重点项目(BE2013005- 3)。

朱轮(1974—)，男，江苏常州人，高级工程师，硕士，主要研究方向：电子信息技术、智能决策。

1001- 9081(2017)02- 0540- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.02.0540

TP273.4; O159

A