复数几何意义在初等数学中的应用

赵 秀

(兴义民族师范学院数学科学学院，贵州 兴义 562400)



复数几何意义在初等数学中的应用

赵 秀

(兴义民族师范学院数学科学学院，贵州 兴义 562400)

复数集是实数集的延拓，复数理论已经渗透到现实世界的各个领域，为科学研究奠定了坚实基础。要想学好复数理论，并能灵活应用于实践，必须深入理解复数的相关几何意义。分析复数几何意义及其在初等数学中的应用，供同行参考。

复数；几何意义；初等数学；应用

1 复数的发展

复数在产生的最初阶段，是为了解方程的需要，也就是为使判别式小于零的实系数一元二次方程有解，从而需要再一次扩大数系，将实数集扩大为复数集，于是产生了虚数。但最初，由于人们对复数的有关概念及性质了解不够清楚，用它们进行计算又出现了许多矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”，直到17、18世纪，随着微积分的发明与发展，对复数有了几何解释，把复数与向量对应起来，解决了许多实际问题，情况才逐渐有了改变，从而使这门学科得到迅速发展。由此看到在复数的发展过程中，复数与几何有着密切联系，它们相互支撑，互相促进，共同发展。20世纪以来，复变函数论已被广泛的应用到理论物理、弹性理论与天体力学方面，在种种抽象空间理论中，复变函数论还常常为之提供新思想、新模型。

2 复数的几何意义

2.1 复数模的几何意义

从几何层面上来看，|z|表示复数z对应的点到原点的距离，而|z1-z2|表示点z1到点z2的距离。这就将几何中两点间线段的长度转化为这两点所对应的复数之差的模的问题，这是沟通复数与几何的一个桥梁。

2.2 复数乘法几何意义

z1z2所对应的向量是把z1所对应的向量伸缩|z2|倍，然后再旋转一个角度θ2=argz2(若θ2=argz2≥0，按逆时针方向旋转，若θ2=argz2<0，按顺时针方向旋转)所得到，如果z2是单位复数，几何上相当于将z1对应的向量旋转一个角度θ2=argz2即可。

由于θ1∈[0.π]，所以

图1 例题Fig.1 Example

3 复数在初等数学中的应用

问题1：证明三角形的内角和等于π。

证明：设三角形的三个顶点分别为z1，z2，z3，对应的三个角分别为θ1，θ2，θ3(如图2)，于是

图2 例题Fig.2 Example

又由于0<θ1<π，0<θ2<π，0<θ3<π，

所以0<θ1+θ2+θ3<3π，故必有k=0，从而有θ1+θ2+θ3=π。

问题2：设z1,z2,z3三点适合条件： z1+z2+z3=0,|z1|=|z2|=|z3|=1，

试证：z1,z2,z3是内接于单位圆|z|=1的正三角形的三个顶点。

证法一：由于|z1|=|z2|=|z3|=1，可知z1,z2,z3三点在单位圆|z|=1上，下证|z2-z1|=|z3-z2|=|z1-z3|.

因为z1+z2+z3=0，

由于对称性，同理可证|z3-z2|2=|z1-z3|2=3，

故问题得证。

问题3：证明：方程z4+16=0的根(在复数集内)均匀分布在以原点为圆心，2为半径的同心圆周上。

证明：由复数的开方公式可得，方程z4+16=0的根为

一方面，由复数模的几何意义知，z1,z2,z3,z4的模都为2，即方程的四个根到原点的距离都为2。

综上所述，可知方程z4+16=0的根(在复数集内)均匀分布在以原点为圆心，2为半径的同心圆周上。

[1] 张锦豪，邱维元. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

Application of complex geometric meaning inelementary mathematics

ZHAO Xiu

(School of Mathematical Sciences, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi 562400, China)

The complex set is the extension of the real number set, and the complex number theory has already penetrated into every field of the real world, which lays a solid foundation for scientific research. In order to learn the complex theory and be able to apply it flexibly, it is necessary to understand the relative geometric meaning of the complex number. In this paper, we discuss the geometric meaning of complex number and its application in elementary mathematics.

Complex number; Geometric meaning; Elementary mathematics; Application

2016-12-09

赵秀(1967-)，女，学士，副教授。

G633.6

A

1674-8646(2017)02-0042-02