立足与立意并重 通法偕思想齐飞——数学全国卷三角形试题的解答策略探析

李天霞 (邮编：351200)林新建 (邮编：363000)

福建仙游第二中学 福建漳州第一中学

立足与立意并重 通法偕思想齐飞
——数学全国卷三角形试题的解答策略探析

李天霞 (邮编：351200)林新建 (邮编：363000)

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知识是载体，方法是手段，思想是灵魂，它们是知识体系的三个层次.

数学思想对于数学学习的作用是什么？

我们知道，人的行为源自于思想认识，思想的混乱必然会导致行为混乱，数学学习也是如此！

为什么有许多学生解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？除了极少数学生不知道相应的数学知识外，绝大部分不是不会方法，而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法，或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题.

比如解三角形，求解问题的通法是“知三求三”，即“已知三边求另外三个角，或已知两边一角求另一边和两角，或已知一边两角求另两边和一角”.

但在具体的问题情境中，如仅知一边和一角，这样就导致因条件不足无法直接运用“知三求三”这个通法予以求解，怎么办？

此时，若能立意于思想，如运用函数或方程思想引入变量凑足三个量，则可运用通法将三角形试题的解答进行得轻松自在！

下面以全国卷解三角形试题为例说明，以飨读者.

例1 (2011年高考新课标卷Ⅰ理科16题)

分析 本题仅知一边及其对角，条件不足无法直接运用通法予以求解，怎么办？

注意到本题是最值问题，若能立意于函数思想(最值问题必须构造出待求最值关于某个变量的函数，进而通过最值求解方法如配方法、导数法等将问题解决)，则自然地想到去引入变量凑足三个量，这样就能运用通法将问题解决.

解析 设∠A=θ,则∠C=120°-θ.

例2 (2010年高考新课标卷Ⅰ文科16题)

分析 本题也是三角形问题，无论在哪个三角形中，都是因为条件不足无法直接运用通法予以求解，怎么办？

注意到本题是变量求解问题，若能立意于方程思想(变量求解问题必须建立出关于待求变量的方程，进而通过解方程将问题解决)，则自然地想到去设出变量凑足三个量，这样就能运用通法将问题解决.

解析 设BD=x,则DC=2x.

化简得：b2=2+4x2-4x.

化简得：c2=2+x2+2x.

例3 (2013年高考新课标卷Ⅰ理科17题)

(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.

分析 本题难在第(2)问，同样已知一边及其所对角，无法直接运用通法求解，怎么办？

同样，本问是变量求解问题，故若能立意于方程思想，则自然地设出变量，这样就凑足了三个量，从而运用通法就能将问题解决了.

解析 设∠PBA=θ,则∠PBC=90°-θ.

在Rt△CPB中，因为BC=1,所以BP=BC·cos(90°-θ)=sinθ.

从以上的探析过程可以看出，数学全国卷三角形试题的解答需要立足于通法，也要立意于思想，只有立足通法与立意思想并重，才能使通法偕思想齐飞，将解三角形试题的解答“臻于完美” ！

2016-12-29)