层层递进 妙趣横生

李彦杰

摘 要：数学解题教学中，如果教师能用心发掘，进行有目的的“借题发挥”，不仅可以创设新颖的教学情境，唤起学生的积极思维，激发他们的探究欲望，而且可以引导学生自主学习，提高他们自主探索的能力。

关键词：有心圆锥曲线 锥心角 解题教学

数学解题教学中，老师常常“就题论题”，有时甚至片面追求解题教学中“量”的多寡，忽视解题教学中“质”的思索的现象层出不穷，这样势必会造成教师觉得平淡、学生感到乏味的结果，从而影响教学质量。笔者认为在解题教学中，引导学生从思想方法角度立意，用心发掘，进行有目的的“借题发挥”，不仅可以创设新颖的教学情境，唤起学生的积极思维，激发他们的探究欲望，而且可以引导学生自主学习，提高他们自主探索的能力。

下面以有心圆锥曲线中锥心角为直角问题为例，谈数学解题教学，抛砖引玉，与同行共同探讨。有心圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线（以原点为对称中心）。所谓锥心角就是有心圆锥曲线上两点与中心连线所成的夹角。

教学案例

2014年贵阳市高三适应监测考试（二）第20题：

已知椭圆C：过点，离心率，O为坐标原点。

（Ⅰ） 求椭圆C的方程；

（Ⅱ） 若直线是圆O：的任意一条切线，且直线与椭圆C交于A、B两点，求证：为定值。

不难发现，这是一中档难度题，但通过题目可以挖掘出有心圆锥曲线一组有趣性质，笔者决定用探究式教学方法进行。

问题解答

（Ⅰ） ， 椭圆方程为

又椭圆C过点，代入上式得，

椭圆C的方程为

（Ⅱ） 证明： ①当圆O的切线的斜率存在时，设直线的方程为，则圆心O到直线的距离，于是

将直线方程与椭圆方程联立，得

设直线交椭圆于、两点，则 ，

② 当圆的切线的斜率不存在时，验证得

综上所述，为定值。

结论的推广

讲完本题讨论巩固后，教师及时提出：在本题中，对于确定的同心圆与椭圆，动直线与圆相切与椭圆相交，对应于椭圆的锥心角一定有直角。那么对于任意的椭圆与圆结论是否成立呢？经讨论答案是否定的。教师继续追问：那么椭圆与圆有什么样的关系，对应的锥心角才能是直角呢？刚开始有学生较迷茫，但经过讨论后，有些学生提出对任意的椭圆，只要同心圆的半径满足一定条件即可。

即：椭圆，若直线是圆O：（满足一定条件）的任意一条切线，且直线与椭圆相交于A、B两点，则OAOB。

这时教师问：这个猜想正确吗？ 如果正确怎样证明？

1.论证猜想，先寻找后论证。

不妨设任意椭圆方程为，最好能先找出这个圆的半径。用什么方法求满足条件的呢？ 显然，特殊化这个题目比较有利。对于特殊的切线轴，

记切点为D。则D（0），将代入椭圆得A（），于是

只需

即 ，

得 。

2.教师引导，对于“动中存定”的问题，常可考虑采用“从特殊到一般”的方法，但一定要对一般情形进行验证和证明。

对于任意的直线（斜率存在）：与圆相切。

则 ， 。

将直线的方程与椭圆C的方程联立，得

直线与椭圆C交于、，则， ，

， 故 OAOB。

结论1： 椭圆，若直线是圆O：

的任意一条切线，且直线与椭圆相交于A、B两点，则OAOB当且仅当圆的半径。结论的类比

结论1反映了椭圆的一个重要性质，教师提出：对于双曲线与圆有这样的性质吗？ 通过类比讨论得出下面的结论：

结论2： 双曲线，若直线是圆O：的任意一条切线，且直线与双曲线交于A、B兩点，则OAOB当且仅当。

结论3： 圆O：，若直线是圆O′：的任意一条切线，且直线与圆O相交于A、B两点，则OAOB当且仅当。

以上是对同心有心圆锥曲线中锥心角为直角的探索，那么对于单有心圆锥曲线是否也有一组性质呢？继续引导学生思考、讨论，经过教师引导提出猜想：

椭圆，A、B是椭圆上任意两点，使得OAOB，你能得出什么结论呢？

学生提出：假设，则由OAOB知，，

则B（），A（），

即A（），将A、B两点代入椭圆方程，得

。

教师提出疑问： 这个命题的逆命题成立吗？经过学生讨论、计算，得出当OA、OB的斜率有一个不存在时成立；当OA、OB的斜率都存在时不成立，只有当OA、OB的斜率异号时才成立（见文献[1]）。

结论4： 椭圆，A、B是椭圆上任意两点，使得OAOB，则。

结论5： 双曲线，A、B是双曲线上任意两点，使得OAOB，则。

结论6： 圆，A、B是圆上任意两点，使得OAOB，则圆心O到直线AB的距离。

总结概括，教学反思。

数学解题教学在整个数学教学中占举足轻重的作用。在教学中，创设良好的问题情境，往往能够激发起学生强烈的问题意识、探索欲望，能够让学生主动发现问题，引发学生积极思考，从而独立地解决问题，发展其思维能力和创造能力。在创设问题情境的过程中，教师应始终围绕课堂教学目的，层层递进，以学生的认知能力、知识结构为基础，从而发挥问题情境的作用，提高数学教学的有效性。

参考文献：

[1]孙登，毛长青.圆锥曲线中一类垂直问题的探究[J].数学月刊·中学版·教学参考， 2013（5）：61-62.