平面向量与三角形四心的交汇

姜懿洋

摘 要：本文介绍了三角形四心的定义，对三角形四心相关的常见向量表达式进行了总结，并运用高中的平面向量知识，推导证明了更一般的表达式。最后，探究了三角形四心相关试题的特点，总结出各类试题一般解题思路。

关键词：平面向量 三角形 四心

一、三角形的四心

一般说来，三角形有五心：重心、垂心、外心、内心、旁心。但高考要求的是前面四个，我们常称呼为三角形的四心。近几年高考对平面向量这一块知识点的考查，越来越灵活，与三角形四心的结合考查出现得越来越频繁。我们先介绍这几个“心”的概念：

重心：三角形三条中线的交点。

垂心：三角形三条高线的交点。

外心：三角形外接圆的圆心，即三条边的中垂线的交点。

内心：三角形内切圆的圆心，即三个角的角平分线的交点。

二、三角形四心的向量常规表达式

对于，O是平面上的一点，分别是三边

（1）O是的重心

证明：如果O是的重心，若D为AB的重点，根据向量的平行四边形法则知，根据重心的几何性质有OC=2OD，因此有.

反过来，若，则可知，可知O、C、D三点共线，并且OC=2OD，因此O为的重心。

（2）O是的垂心

证明：若O是的垂心，根据垂心的性质，有，故有，化简可得，同理可得，因此

反过来，若，根据前两个等式，有，即

同理，有，因此O为的垂心。

（3）O是的外心

证明：显然成立。

（4）O是内心

证明：容易知道是方向的单位向量，表示的是平分线方向的向量，表示的是垂直平分线的向量。因此表示OA是的角平分线，同理OB、OC分别是的角平分线，因此O是内心，反之亦然。

三、三角形四心的向量一般表达式

在推导一般式前，我们先看一道例题：

例1. 点在内部且滿足，则面积与面积之比为（ ）。

A.2 B. C.3 D.

分析：题目中的向量表达式有点像重心的表达式，但是前面的系数不太对，我们考虑构造新的三角形，满足O是重心，再来解决问题。

解：如图所示，延长OB至，使得；延长OC至

可知，因此O为的重心。根据重心的性质，。根据线段的比例关系，

因此面积与面积之比为

从这道题里面我们可以看出，一个点和三角形三个顶点连线，把三角形划分成三部分，这三部分的面积比可以和向量结合起来。我们得到下面的定理：

点在内部，

这个定理用上面的方法很容易证明，这里就先省略，我们用这个定理来重新审视三角形的四心。

重心这个仍然不变，O是的重心

垂心，由于，因此有O是的垂心

外心，容易知道，O是的外心

内心，由于三个小三角形的高是一样的，底边分别为，因此O是的内心

四、三角形四心的考查形式

下面我们通过几道例题说明三角形四心的具体考查形式，以及对应的解题思路。

例2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

分析：出现了一个不相关的点O，我们要探究的是P和四心的关系，因此要把O点消除，采用向量差的方法是不错的。

解：化简向量表达式，容易知道平行与过A点的中线，因此P点的轨迹一定经过重心，选C.

例3. 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

分析：O点仍然和上一题一样，采用作差的方法消除，另外还要对单位向量的表达形式要熟悉，一般说来表示的是方向的单位向量。

解：化简向量表达式，由于和分别表示和方向的单位向量，根据向量加法的平行四边形法则，表示的是角平分线方向的向量，因此P点的轨迹过内心，选B.

例4.若存在常数，满足，则点可能通过的__________

分析：和上面那题不一样的是，分母里面出现了正弦值。由正弦定理可得，即

解：化简向量表达式

这样，G点明显过三角形的重心。

参考文献：

[1]罗永高.三角形四心向量一般形式的探究[J].数学教学通讯：教师阅读， 2010（3）：63-64.

[2]彭刚婷.用数形结合理解三角形四心的向量形式及应用[J].中外交流， 2015（31）.