一类线性丢番图方程非负整数解的探讨

摘 要：随着科学技术的发展，由古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家丢番图（diophantus）的名字命名的丢番图方程在电力、化工、生物等生产实际、工程设计等领域得到了愈来愈重要的应用。本文主要研究一类线性丢番图方程的非负整数解的存在性问题。

关键词：丢番图方程 非负整数解 素质教育

一、引言

随着素质教育在中小学的进一步推行，现在我们的中学生活丰富，经常参加一些实践，科技竞赛等活动。在参加生物竞赛的时候，我们遇到了蛋白质分子组成的判定问题，经与老师同学们研究，发现如果将蛋白质分子分子量记为种氨基酸的已知分子量，，的线性组合，这一类问题可以即可转化为一类线性丢番图方程的求解问题，这样就把一个生物问题转化为一个数学问题。同时这个转化也体现了数学在其他学科中的地位和作用。当我们在实际生活中需要求某一类特定方程的整数解的时候，那么就会得到由古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家丢番图（diophantus）的名字命名的一个丢番图方程。当时代数学的创始人之一丢番图在有理数域上写下了一些方程。丢番图方程又被称为不定方程、整系数多项式方程。近些年，丢番图方程的求解问题也受到了广大学者的关注。丢番图方程整数解的存在性已经有很多相关结果，本文主要研究一类线性丢番图方程的非负整数解的问题。

首先我们给出一次线性丢番图方程的概念。

定义 方程 （1）称为元一次线性丢番图方程。这里都是整数。

下面的引例在本文主要结论的证明过程中将要用到，也是一次线性丢番图方程整数解的存在的一个常用的充分必要条件。

引理 设，，是不全为零的正整数，对任意的整数，都存在，，使得方程成立当且仅当。特殊的，方程（1）对每个有解当且仅当。

二、主要结论

本节我们给出本文的两个主要结论，分别给出了一次線性丢番图方程非负整数解的存在的一个常用的充分条件。

定理 2.1 设，，皆为正整数，并且满足，如果，则一次线性丢番图方程存在非负整数解，，。

证明 因为，由引理可得，存在整数，，，使得一次线性丢番图方程成立。

由带余除法可知，存在整数，，，使得 成立，这里。

不妨设，那么

。

又由题设知，。

因此，，从而，故得证。

定理 2.2 设，，皆为正整数，并且满足，当时，一次线性丢番图方程存在非负整数解，，。

证明 因为

所以，我们有

。

再结合定理2.1可知定理2.2成立。

参考文献：

[1]龚晓岚. 关于n元线性丢番图方程的探讨[J]. 高师理科学刊， 2006， 26（1）：24-25.

[2]薛方， 郑辉， 范小寅. 线性丢番图方程的一个数值解法[J]. 数学通报， 1994（10）.

[3]龚晓岚， 吴延海. 线性丢番图方程救解特解的方法[J]. 高师理科学刊， 2000（4）：18-20.

[4]张可军， 陈福接. 求解线性丢番图方程（组）的串、并行算法[J]. 计算机工程与科学， 1993， 15（1）：84-91.

[5]徐肇玉. 线性丢番图方程的一个一般求解公式[J]. 高师理科学刊， 1988（2）.

[6]陈持协， 王标， 方颖珏，等. 一类有限域丢番图方程的解及其应用[J]. 计算机系统应用， 2015（12）：256-259.

[7]Melvyn B.Nathanson.Elementary Methods in Number Theory[M].37-40.

作者简介：颜若珂（1999-），女，汉，兖州区第一中学高三级27班，山东省济宁市兖州区，研究方向：丢番图方程