浅谈古典概型专题的复习

唐运军

古典概型是高中概率学习的重要类型之一，古典概型的基本事件个数是求概率的关键，然而由于文科学生没有学习计数原理，基本事件的个数基本上只能通过列举的方式得到，因此不重不漏的列举出所有基本事件成了学生的最大困难。本文针对本节知识的特点和文科学生复习时的实际困难，从两个方面谈谈文科生对古典概型专题的复习。

一、解决古典概型问题的前提--把握基本特点，掌握概率公式

古典概型基本特点：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等；

古典概型计算公式：

解决古典概型问题时，许多同学容易忽略“每个基本事件出现的可能性相等”这个基本特点，导致解答错误。

例1，同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？

解法一：掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果有36种。在这36种结果中，向上点数之和为5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得，P（向上的点数之和是5）

解法二：掷一个骰子的结果有6种.那么两个骰子之和有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11个结果，因此，由古典概型的概率计算公式可得，P（向上的点数之和是5）

两个答案都是利用古典概型的概率计算公式得到的，为什么会出现不同的结果呢？这就需要考察两种解法是否满足古典概型的基本特点，本题基本事件如下表：

观察表中数据容易发现，向上点数之和为2和12的情况各有1次，向上点数之和为3和11的情况各有2次，向上点数之和为4和10的情况各有3次，向上点数之和为5和9的情况各有4次，向上点数之和为6和8的情况各有5次，向上点数之和为7的情况有6次，显然第二种解法中构造的11个基本事件不是等可能发生的，不满足古典概型的基本特点，直接使用古典概型的公式求解就出现了错误.在古典概型专题复习时，要求学生使用古典概型公式前一定要注意验证所构造的基本事件是否满足古典概型的基本特点。

二、掌握古典概型三种常规列举的方式，不重不漏的列举出所有基本事件

准确的列举出基本事件个数是解决古典概型的关键，文科学生没有学习计数原理，基本事件的个数只能通过列举的方式得到。不重不漏的列举出所有基本事件成了学生的最大困难，本文将古典概型概括为三大类型。

类型一：从一个含有n个元素的集合中无顺序之分的抽取m（）个元素.建议采用定头顺尾，不回头的列举方式。

例2，（2008年海南卷）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5、6、7、8、9、10，把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；

（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率；

本题第（2）小题属于古典概型题，等价于从一个含有6个元素的集合中没有顺序的抽取2个元素.因此在列舉时，我们可以先依次定下头位，顺着元素不回头的依次列举。如定5头顺着元素不回头的列举依次就可以得到（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），定6头顺着元素不回头的列举依次就可以得到（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），定7头顺着元素不回头的列举依次就可以得到（7，8），（7，9），（7，10），定8头顺着元素不回头的列举依次就可以得到（8，9），（8，10），定9头顺着元素不回头的列举依次就可以得到（9，10），这样就非常容易的不重不漏的15个基本事件全部列举得到。

类型二：从一个含有n个元素的集合中有顺序之分的抽取m（）个元素.建议采用树状图的方法依次例举。

例3，从A、B、C、D 4名学生中任选两名同学分别担任正副班长，求A为正班长的概率。

本题属于古典概型题，等价于从一个含有4个元素的集合中有顺序的抽取4个元素。因此在列举时，我们可以采用树状图的方法依次例举。

副班长

由上树状图可以得到从A、B、C、D 4名学生中任选两名同学分别担任正副班长的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）共12个（其中横坐标表示正班长，纵坐标表示副班长）。

类型三：从两个集合中各抽取1个元素.建议采用列列联表的方法依次例举。

例4，（2007年海南卷）设有关于的一元二次方程

（1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

本题第（1）小题属于古典概型题，等价于从集合和集合两个集合中各抽取一个元素.因此可以采用如下列联表的方法依次例举。

从上表可以得到若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数可以得到（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）共12个基本事件（其中横坐标表示，纵坐标表示）。

古典概型的习题非常多，文科学生虽然没有学计数原理，但只要抓住了其基本特点，恰当的选择列举方法，灵活运用，就能够有效的降低难度，减少错误，提高复习的效率。

参考文献：

[1]张淑梅主编.普通高中新课程标准实验均教科书――数学必修3（A版）[M].人民教育出版社，2010