基于互补理论的电力系统机组组合优化

丁林军，陈璟华，梁丽丽，邱明晋，唐俊杰

（广东工业大学自动化学院， 广东 广州 510006）

基于互补理论的电力系统机组组合优化

丁林军，陈璟华，梁丽丽，邱明晋，唐俊杰

（广东工业大学自动化学院， 广东 广州 510006）

针对同时具有离散和连续变量，非线性等特点的火电机组组合问题，在分析一般机组组合优化数学模型的基础上，尝试用连续化的方法建立连续变量和离散变量之间的关系，利用互补约束和最优化极值理论，构建了电力系统机组组合的互补约束优化模型。采用光滑NCP函数对建立的互补约束优化模型进行光滑处理，将其转化为一般的非线性规划问题，并用原对偶内点法进行求解。仿真结果表明：所提算法能有效处理含离散和连续变量的混合优化问题，具有很好的实际应用前景。

机组组合；互补约束；光滑函数；非线性规划

机组组合是提高电力系统运行经济性的一种有效方法，是指在满足系统各种约束条件的基础上，制订火电机组合理的开、停机计划，使电力系统在调度周期内总运行费用最低。

机组组合问题是一个多约束，非线性以及包含混合变量的大规模组合优化问题，［1］属于不确定性问题（Nondeterministic Problem,NP），很难找到理论上的最优解。在近年来的研究中，各种算法被广泛应用于该领域。这些方法可以分为包括遗传算法［1］和粒子群算法［2］等人工智能的方法以及包括穷举法［3］、优先级表法［4］、动态规划法［5］、拉格朗日松弛法［6］、分支定界法［7］等传统方法。各类智能优化算法大部分都是利用对生物或者社会现象的模拟，可以全面处理优化问题中的各种约束条件，但是其在求解过程中收敛速度较慢，而且均有一定的主观因素，对优化结果有一定的影响。传统数学优化算法是求解机组组合优化问题的一类核心算法，它通过对优化问题进行数学建模，然后通过解析性方法来求得全局最优解。

机组组合优化问题同时也是一个典型的0-1规划问题，由于其自变量中含有离散的决策变量，所以连续变量的最优化理论不能直接对其进行求解。因此，构造一种能有效处理同时包含连续和离散变量且有较高求解效率的算法是有效解决当前机组组合优化问题的关键。

互补关系是社会现象中广泛存在的一种基本关系。随着非线性互补优化理论的发展和完善，已经有许多学者开始采用非线性互补优化方法来处理电力系统中的优化问题［8-9］。由于互补问题也是一个NP，文献［10］利用光滑函数将互补约束条件转化为一般非线性规划问题进行求解，从而有效地解决了互补约束条件的可行点不满足非线性约束规格的问题。

为了解决包含离散和连续变量以及非线性的机组组合优化问题，本文尝试用连续化的方法建立连续变量和离散变量之间的关系，即用连续函数来表示离散问题，从而只需求解连续优化问题，并根据连续和离散问题之间的关系求出原问题的解。在分析传统机组组合优化数学模型的基础上，本文利用互补约束、光滑互补函数和最优化极值理论，构建了电力系统机组组合的互补约束优化模型，进而利用非线性互补问题（Nonlinear complementrarity problem,NCP）光滑函数对所建立的模型进行光滑处理，将其转化为一般的非线性规划问题，再采用原对偶内点法进行求解，从而提高了算法的求解精度和效率。

1 机组组合问题一般的数学模型

1.1 目标函数

机组组合是在满足各种约束条件的基础上，通过安排不同容量和不同类型发电机组开停机规划来降低系统运行成本，即

式中：F—系统总发电费用；

N—系统的机组总数；

T—总的时段数。

而发电机组的燃料成本函数可以表示为：

式中：ai,bi,ci—分别为发电机i的燃料成本系数。

式中：Sti—机组i在t时段的启动燃料消耗量；

Ki、Bi和Tcold—分别为机组的启动耗量参数；

1.2 约束条件

（1）系统功率平衡约束

（2）发电机组出力约束

式中：pimin—发电机i的最小有功出力；

pimax—发电机i的最大有功出力。

（3）系统备用容量约束

（4）机组爬坡速率限制约束

式中：Di—发电机i的最大上调有功出力；

Ui—发电机i的最大下调有功出力。

（5）机组最小在线时间约束

（6）机组最小离线时间约束

式中：Toffi—机组i的最小离线时间；

（7）机组开停机状态约束

1.3 机组组合的数学模型

由式（1）-式（10）所组成的机组组合模型可以简化为如下的一般形式：

式中：x—包含状态变量和控制变量的2NT维列向量；

F(x)—系统总发电成本的表达式；

g(x)—等式约束条件；

h(x)—不等式约束条件。

2 机组组合的互补约束数学模型

2.1 互补问题

互补问题［11］是运筹学与数学交叉的一个研究领域。假如某个问题的两组决策变量之间满足的是一种“互补关系”，则称其为互补问题，互补关系可用符号“⊥”表示。

互补问题一般的数学描述如下：

式中：G(x),H(x)为Rn→R是两个连续映射。

2.2 非线性互补问题

非线性互补问题即为求解矢量x满足如下约束，记为NCP(F)。

式中：x→Rn,x∈Rn是Rn到Rn的映射。

2.3 机组组合互补约束模型

从式（10）可以看出，优化后的机组状态变量取值一定为0或1，而由式（5）可以看出，在线机组的有功出力是介于其出力下限和上限之间的一个连续变量。对于这种同时含有连续变量和离散变量的组合优化问题，目前还没有一种算法能有效地处理此类问题。本文将建立含互补约束的电力系统机组组合的非线性优化模型，建模的基本思路为：

（1）对机组开、停机状态变量的取值进行约束，即融入0-1离散约束条件；其次，借鉴互补优化理论建立含机组状态变量的互补约束机组组合优化模型；

（2）利用光滑函数对所建立模型中互补约束条件进行光滑化处理；

（3）利用光滑函数对原函数进行光滑逼近，将其转化为含互补约束的非线性优化模型。

实际上，表示机组运行的状态变量具有互斥性，即机组i在t时段的运行状态变量不可能同时为0或者1，因此可以构建辅助互补约束条件，将式（10）等价影射为连续空间的机组组合优化模型，其机组运行状态的离散互补约束的互补模型为：

由式(14)中可以看出在优化过程中无需要求决策变量的离散性，在获得最优解时候都可以确保最终的决策变量的取值为0或者1。

本文将机组开、停机状态约束条件转化为互补约束的形式：

式（15）可以表示机组开停机状态变量约束（0或1），将式（15）替换式（1）中的，再采用非线性规划算法求解便可以得到该问题的最优解。

则连续空间的机组组合互补约束优化模型可化为：

简单的线性互补约束优化问题也是一个NP难问题。式（15）在该问题的求解过程中不能直接使用，而利用互补光滑函数可以将互补约束条件进行等价替换［12］，将其进一步等效转换为一般非线性规划问题。因此本文利用光滑互补函数对所建立模型中的互补约束条件进行光滑化处理。

3 求解含互补约束条件机组组合的非线性规划

3.1 NCP光滑函数

光滑函数是指在变量的空间中能够无穷可导的一种函数，即存在所有的有限阶的导数。对于含式（13）的优化问题，由于其不满足可行点的（MFCQ）［13］约束条件，所以利用其库恩—塔克条件（Karush Kuhn-Tucker Conditions,KKT）来求解目标函数就变得很困难。而对于非线性互补优化问题，一种很重要的求解思路就是利用NCP函数将其等价地转化为较容易求解的最优化问题。

设函数θ:R2→R，对于任意(a,b)T∈R2，若θ(a,b)=0等价于a≥0,b≥0,ab=0，则称函数θ是一个NCP函数。

本文采用NCP函数对互补约束条件进行等价转化。以下是两个常用的NCP函数。

（1）带扰动因子的NCP函数

当μ→0时，式(17)等价于：a≥0,b≥0,ab=0。

（2）F-B函数

由于NCP函数是一个非光滑函数，所以含有NCP函数的优化问题不能采用常规方法直接求解，而解决这类问题的一种有效途径就是对其进行光滑化处理。

3.2 含互补约束机组组合模型光滑化处理

将机组开停机状态变量约束条件表示为式（15）的互补约束条件，则将含有｛0，1｝离散变量的机组组合优化问题等价转化为互补约束条件的非线性规划问题：

式中：g(x)—等式约束条件；

3.3 机组组合非线性优化模型的求解方法

本文所建机组组合互补约束模型的具体算法如下：

利用F-B函数将互补约束条件（15）转化为：

将约束条件式（15）和式（20）加入到机组组合模型式（11）中：

式中：g(x)包含约束条件式（4）；

h(x)包含约束条件式（5）-式（9）。原对偶内点法的计算过程以及详细步骤见文献［14］。

4 算例仿真与效果评价

为了验证所提出方法的有效性，采用Matlab2010b对10机系统在24个时段内的运行情况进行组合优化计算。仿真条件如下：计算机基于WinXP/Intel平台，其主频为2.6 GHz，内存为1.96 GB。本文所涉及机组特性数据和24 h负荷以及备用数据详见文献［15］。

采用本文算法，得到10机系统24个时段的机组组合优化仿真结果如下：机组煤耗总量为78 797.3 t，启动耗量为240.46 t，最大迭代次数为245次。表1为10机系统优化后各机组的出力，表2为10机系统优化后各机组的开停机状态。分别采用拉格朗日松弛算法［15］、混沌离散粒子群算法［16］、传统粒子群算法［17］，以及本文算法对10机系统24个时段内机组组合进行优化，总煤耗量比较如表3所示。

表1 10机组系统优化后各机组有功出力

从表1可知，优化后每一个时段机组的出力均满足功率平衡约束和旋转备用约束，此外，各机组的出力也均在各自的最大/最小出力约束的范围内。仿真结果表明，采用本文算法求出机组组合优化后的结果均满足系统的各个约束条件。从表1优化结果还可以看出，优化后机组的出力也符合“上大压小”的原则，在整个运行过程中5台容量大、经济性好的机组优先出力，减小了小容量机组的出力，并且容量较大机组承担了相对较多的负荷，提高了大机组的运行效率。使系统机组尽可能地运行在最佳工作点，从而提高了整个系统的经济性，降低了系统的运行成本，其优化结果更符合实际的工程需求。

从表2的仿真结果可以看出，各机组在每一个时段的开、停机状态变量均是0或1的整数值，而且其开、停机状态和表1中机组的出力均相对应。优化结果表明采用本文的算法能准确得出机组开、停机的最优组合方案。其得到的机组状态变量全为整数，并且其优化结果无需人为地进行修正或调整，从而有效提高了可行解的精度。说明本文所提出的算法能有效处理含离散和连续变量的混合整数优化问题。

表2 10机组系统优化后的各机组开停机状态

图1 10机组系统机组组合优化的收敛特性

从图1中可以看出，随着迭代次数的增加，机组煤耗总量不断减少，说明了本文所提算法能有效地改善可行解的质量，提高收敛速度。当迭代次数达到130次时，系统中的各种约束条件均满足，机组煤耗总量趋于稳定。从收敛速度来看，该算法的最大迭代次数少且每次仿真所得的结果基本不变，显示算法具有较高求解效率和较好的数值稳定性，更有利于求解机组组合问题。与其他优化算法中10机组系统24个时段优化结果的总煤耗量比较如表3所示。

表3 不同优化方法下10机系统的煤耗量

由表3可知，本文算法与拉格朗日松弛法相比，节约了标准煤2 208.04 t。和混沌离散粒子群算法相比，节约了标准煤448.54 t。与传统PSO算法相比，节约了标准煤523.54 t。系统仿真结果表明：采用本文算法能有效处理含混合变量的机组组合优化问题，从而有效降低了系统运行成本。

5 结论

（1）本文通过互补约束来描述表示机组开、停机状态的整数变量，并将其构造成互补约束条件。系统的测试结果表明：采用本文方法得到机组的开、停机状态变量全为整数值，不需要人为地重新修正，显示了其较高的求解效率。

（2）本文利用互补约束条件、光滑互补函数和最优化极值理论构建的机组组合优化数学模型，不仅实现了离散优化空间向连续寻优空间的等价映射变换，避开了直接对离散变量的优化决策，且以其为基础构建的非线性互补约束模型，将离散和连续变量统一在互补模型直接进行求解，得到了最优解。

（3）本文将描述机组状态的整数变量转化为互补约束条件，进而建立含互补约束的机组组合模型，然后利用光滑函数将难以求解的互补约束优化问题转化为非线性规划，结合电力系统的特性，采用简单的启发式方法确定各机组的初始值，最后采用原对偶内点法对含互补约束的机组组合优化模型求解。测试结果表明：本文所提出的方法能有效地处理离散变量，在算法的计算效率以及目标优化结果中显示出了优越性。

（4）本文的机组组合模型在求解时利用了原对偶内点法，测试结果表明该算法具有数值稳定性好以及求解效率高的优势，因此该方法在求解含混合变量的非线性优化问题中具有良好的应用前景。

（5）综上所述，互补约束可以有效地处理含离散变量的机组组合问题。互补优化理论的发展和完善，不仅将促使其应用更加广泛，并且为求解复杂的混合整数优化问题提供一种新思路。

［1］ 孙力勇，张焰，蒋传文.基于矩阵实数编码遗传算法求解大规模机组组合问题[J].中国电机工程学报.2006 (02):82-87.

［2］ 李整，谭文，秦金磊.一种用于机组组合问题的改进双重粒子群算法[J].中国电机工程学报.2012(25):189-195.

［3］ 张婷婷，张凤丽，盛建伦.机组组合优化问题的穷举算法研究[J].青岛理工大学学报.2011(01):81-86.

［4］ Senjyu T，Shimabukuro K，Uezato K.A fast technique for unit commitment problem by extended priority list[J]. IEEE Trans on Power Systems，2003，18(2)：881-888.

［5］ 王承民，郭志忠，于尔铿.确定机组组合的一种改进的动态规划方法[J].电网技术.2001(05):20-24.

［6］ 张宁宇，高山，赵欣.一种求解机组组合问题的快速拉格朗日松弛法[J].电力系统保护与控制.2012(19):47-53.

［7］ 谢毓广，江晓东.储能系统对含风电的机组组合问题影响分析[J].电力系统自动化.2011(05):19-24.

［8］ 杨洪明，童小娇，赖明勇.基于光滑非线性互补函数的电力市场动态研究[J].电网技术.2006(22):42-48.

［9］ 李滨，韦化，李佩杰.电力系统无功优化的内点非线性互补约束算法[J].电力自动化设备.2010(02):53-58.

［10］谢水连.求解互补约束优化问题的一类光滑化算法[J].嘉应学院学报.2015(08):5-7.

［11］LEYFFER S，GABRIEL L C，NOCEDAL J.Interior methods for mathematical programs with complementarity constraints［J］.

［12］张琼.求解0-1非线性整数规划问题的非单调光滑牛顿算法[D].天津大学,2010.

［13］Ralph D，Wright S J.Some properties of regularization and penalization schemes for MPECs[J].Optimization Methods and Software.2004，19(4)：527-556.

［14］Wei H,Sasaki H,Kubokawa J,et al.An interior point programming for optimal power flow problems with a novel data structure.IEEE Trans.on Power Systems, 1998,13(3)：870-877.

［15］韩学山，柳焯.考虑发电机组输出功率速度限制的最优机组组合[J].电网技术.1994(06):11-16.

［16］陈璟华，周俊，郭壮志，等.改进混沌离散粒子群与等微增率的机组组合优化[J].中国电力.2014(07):6-11.

［17］陈海良，郭瑞鹏.基于改进离散粒子群算法的电力系统机组组合问题[J].电网技术.2011(12):94-99.

Unit commitment and optimization based on complementarity theory in power system

DING Linjun，CHEN Jinghua，LIANG Lili，QIU Mingjin，TANG Junjie
（School of Automation,Guangdong University of Technology,Guangzhou Guangdong 510006,China）

Aiming at the problems of thermal power generating unit commitment containing the characteristics of discrete variables and continuous variables,non-linear and so on,on the basis of analyzing mathematical model of general unit commitment and optimization,tries to build relationship between continuous variables and discrete variables by continuous way,and according to complementarity constraints and optimization extreme value theory builds a complementary constraint optimization model of power system unit commitment.And then using the smooth NCP function makes smoothing treatment on the established complementarity constraint optimization model,and transforms it into a general nonlinear programming problem,and get the solution by the original dual interior point method.The simulation result shows that this algorithm can effectively deal with mixed optimization problems containing discrete and continuous variables,has good practical application prospects.

unit commitment;complementarity constraints;smooth function;nonlinear programming

TM711

A

1672-3643（2017）01-0016-06

10.3969/j.issn.1672-3643.2017.01.004

广东省自然科学基金资助项目（S2013040013776）。

2016-11-28

丁林军（1990），男，在读硕士研究生，研究方向为电力系统优化运行与控制。

有效访问地址：http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1672-3643.2017.01.004