3-UPS/S并联稳定平台满载工况误差分析与运动学标定

李玉昆 李永泉 佘亚中 张立杰

1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室，秦皇岛，0660042.燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室，秦皇岛，0660043.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室，秦皇岛，066004

3-UPS/S并联稳定平台满载工况误差分析与运动学标定

李玉昆1,2李永泉1,2佘亚中2,3张立杰2,3

1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室，秦皇岛，0660042.燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室，秦皇岛，0660043.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室，秦皇岛，066004

当负载达到一定数值时，并联机构的变形误差相对于几何误差对动平台输出精度的影响是不可忽略的。以电液驱动型3-UPS/S并联稳定平台为研究对象，分别建立了稳定平台几何误差与变形误差的传递模型，并通过线性叠加得到了总的误差传递模型。基于几何误差传递模型，建立了稳定平台满载工况下的运动学标定模型。在满载工况下进行了运动学标定实验，测量了动平台参考点的位置，计算得到动平台姿态误差δH0，通过分离变形误差δH1得到了几何误差δH，通过最小二乘法完成了稳定平台几何误差参数标定。

并联机构；几何误差；变形误差；运动学标定

0 引言

按照机构误差源分类，机构误差包含原理误差、几何误差、变形误差、测量误差[1]。承受负载时，并联机构的主要误差来源于几何误差与变形误差，其中，几何误差是指由各零部件的加工误差与装配误差导致的动平台姿态误差，变形误差主要是指由重载引起的各分支的弹性变形导致的动平台姿态误差。并联稳定平台[2]主要用来隔离扰动和进行姿态补偿，对机构输出的精度要求较高，因此必须对其进行运动学标定，进而对由几何误差和变形误差导致的姿态偏差进行有效补偿。

为了提高并联稳定平台机构的位姿精度，人们对并联机构的误差分析与补偿进行了大量研究。文献[3]利用坐标转换方法对Stewart平台机构进行了误差建模，通过可直接微分的输入输出方程对并联机构的驱动器误差、铰链自身误差及铰链定位误差做了分析。文献[4]基于矢量微分法对六自由度运动模拟平台进行了几何误差的分析与标定。文献[5]建立了操作机构几何误差与变形的统一传递模型，为非过约束并联机构的两类误差的线性叠加影响的分析提供了理论依据。文献[6]采用运动学外部标定法对球面并联机构样机进行了运动学标定，利用三坐标测量机检测末端位姿误差，构造其与模型计算值间的残差，进而通过相应的逆解辨识模型识别几何参数。文献[7]通过改进标定建模方式将测量参考系与运动参考系统一，消除了测量的系统误差，提高了并联机器人的标定精度。文献[8]提出了一种基于遗传算法，以矩阵条件数为优化目标，对并联机构的标定测量点进行优化筛选的方法。上述运动学标定都是在机构空载时完成的，而实际应用中的稳定平台都是有负载的，尤其当稳定平台处于满载工况时，由负载引起的变形误差相对于机构本身的几何误差对稳定平台输出姿态的影响是不可忽略的。本文基于3-UPS/S并联稳定平台机构，研究其在满载工况下的误差分析及运动学标定问题。因为此类非过约束并联机构的几何误差与变形误差是互相解耦的[5]，所以本文首先分离出变形误差，再通过最小二乘法建立该机构样机的运动学标定模型，最后通过激光跟踪仪测量动平台姿态，借助标定迭代方法，获得满足精度要求的实际几何参数。

1 3-UPS/S并联稳定平台机构位姿描述

图1 3-UPS/S并联稳定平台实验样机Fig.1 3-UPS/S parallel stabilizing platform prototype

如图1所示，3-UPS/S 并联稳定平台机构由动平台、定平台及3个UPS 驱动分支和中央球铰(S)的约束分支组成。机构的中央球铰约束动平台的 3个移动自由度，使动平台只有3个转动自由度，其布局有以下特点：①每个 UPS 支链组成1个驱动分支，分支中的移动副为驱动副；②3个分支通过在半径r2圆上均布的3个球铰与动平台相连；③3个分支通过在半径r1圆上均布的3个虎克铰与定平台相连。

3-UPS/S并联稳定平台机构如图2所示，为描述其位姿，建立定坐标系Obx1y1z1，记作{w}，坐标原点Ob位于定平台中心，x1轴平行于ObA1，z1轴垂直于A1A2A3平面；建立动坐标系Ox2y2z2，记作{u}，坐标原点O位于中间球铰中心，x2轴平行于OB1，z2轴垂直于B1B2B3平面。

图2 3-UPS/S并联稳定平台机构简图Fig.2 Sketch of 3-UPS/S parallel mechanism

这里，用RPY角来描述动平台的姿态。RPY角描述动坐标系的方位法则如下：为使动坐标系Ox2y2z2的初始姿态与定坐标系Obx1y1z1相同，首先平移定坐标系到动坐标系的初始位置，然后再通过旋转变换来调整定坐标Obx1y1z1的姿态，先绕此时的定坐标系x1轴转α角，再绕定坐标系y1轴转β角，最后绕定坐标系z1轴转γ角，以保证动坐标系与定坐标系姿态重合，从而得到动平台相对于定平台的姿态变换矩阵

T=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)=

(1)

sj=sinjcj=cosjj=α，β，γ

驱动分支的虎克铰中心Ai(i=1，2，3)点在定坐标系{w}中可表示为

wAi=(r1cosηi，r1sinηi，0)

(2)

驱动分支球铰中心Bi点在动坐标系{u}中可表示为

uBi=(r2cosηi，r2sinηi，0)

(3)

其中，ηi为铰链点i在xy面的分布角，且有η1=0，η2=2π/3，η3=-2π/3。

Bi点在定坐标系{w}中的坐标可表示为

wBi=ObO+TuBi

(4)

2 误差建模与分析

2.1 几何误差模型

假设各构件为刚性构件，对于驱动分支AiBi，可得到闭环矢量

limi=h+TuBi-wAi

(5)

式中，h为动平台的位置向量，h=ObO；li为驱动杆AiBi的长度；mi为驱动杆AiBi在定坐标系下的单位方向向量。

对式(5)两边进行微分得

δlimi+liδmi=δh+δTuBi+TδuBi-δwAi

(6)

由矩阵的微分理论可得微分旋转矩阵

δT=S(δH)T

(7)

式中，δH为动平台的姿态误差向量，δH=(δα，δβ，δγ)；δα、δβ、δγ为RPY角表示的3个动平台姿态角误差；S(δH)为δH的反对称矩阵。

由mi为单位向量，有

(8)

式(6)中的右边点乘mi,有

mi·(δTuBi)=mi·(S(δH)TuBi)=

mi·(δH×(TuBi))=((TuBi)×mi)·δH

(9)

此时，式(6)两边点乘mi，并代入式(7)～式(9)，化简整理得

δli=((TuBi)×mi)·δH+mi·(TδuBi)-

mi·δwAi+mi·δh=mi·δh+

((TuBi)×mi)·δH+mi·TδuBi-mi·δwAi

(10)

综合3个驱动杆可得

δL=J1δh+J2δH+J3δP

(11)

δL=(δl1，δl2，δl3)

δh=(δx，δy，δz)

δH=(δα，δβ，δγ)

式中，δL为驱动杆杆长的误差向量；δl1、δl2、δl3分别为3个驱动杆杆长的误差；δh为动平台的位置误差向量；δx、δy、δz分别为动平台在定坐标系下的3个位置误差；δH为动平台的姿态误差向量；δP为铰链中心点的位置误差，δP∈R18×1；J1为该机构的移动速度雅可比矩阵；J2为该机构的转动速度雅可比矩阵；J3为该机构的柔性运动雅可比矩阵，J3∈R3×18。

该并联机构有3个自由度(动平台绕中心球铰的3个转动自由度)，所涉及的工作空间内无奇异点时，J2是一个非奇异矩阵，可以对其进行求逆计算。由式(11)求得几何误差模型：

(12)

2.2 变形误差模型

通过3-UPS/S并联稳定平台机构的静力学全解的分析[9]，可知稳定平台承受载荷时，机构的主要变形来自于各分支杆，而分支杆件的变形会直接影响稳定平台的输出位姿精度。3-UPS/S并联稳定平台机构的驱动形式均为液压驱动，驱动分支的液压缸三维模型如图3所示。由静力学分析可知驱动分支均可视为二力杆，为了便于分析该机构的变形误差，现对样机刚度模型进行适当的简化：①假设球铰S、动平台、定平台以及虎克铰U为理想刚体，仅将各分支杆作为弹性体考虑；②忽略各个部件的重力及液压缸中油液质量的影响；③将驱动分支的上下连杆等效成具有相同直径的均质杆。

图3 驱动分支Fig.3 Active branch chain

这里主要分析驱动分支的刚度模型，如图3所示，驱动分支的刚度主要包含以下三个部分:

(1)驱动分支伸缩杆的轴向拉压刚度

kei=ELALe/lei

(13)

式中，EL为伸缩杆弹性模量，EL=210 GPa；ALe为伸缩杆横截面积，mm2；lei为伸缩杆的杆长，mm；dLe为伸缩杆的直径，mm。

(2)驱动分支液压缸液压油的刚度。驱动分支均由液压缸驱动，液压油的可压缩性使驱动分支液压缸部分必然产生弹性变形。液压缸内两端液柱的形变位移量相同，故可以将其等效为一个并联弹簧系统[10]，则液压油的轴向刚度为

khi=khi1+khi2=EhAhi1/lhi1+EhAhi2/lhi2

(14)

式中，khi1、khi2分别为分支i液压缸有杆腔、无杆控的刚度，kN/m；Eh为液压油的弹性模量，Eh=2.0 GPa；Ahi1、Ahi2分别为分支i液压缸有杆腔、无杆腔的有效横截面积，mm2；lhi1、lhi2分别为分支i液压缸有杆腔的长度，mm；dLh为分i支液压缸无杆腔的横截面直径，mm。

(3)驱动分支底端定长杆的轴向拉压刚度

kfi=ELALf/lfi

(15)

式中，ALf为底端定长杆横截面积，mm2；dLf为底端定长杆的等效直径，mm；lfi为底端定长杆的杆长，mm。

中间约束分支的末端通过中央球铰与动平台连接，受到的力是任意方向的，因此将其刚度分解到定坐标系的3个方向上，对应的刚度分别为kx、ky、kz，分支刚度记作k0，且有k0=diag(kx，ky，kz)。

图4所示为3-UPS/S并联机构样机的刚度模型，其周围均布的3个UPS驱动分支变换为具有3个串联等效线性弹簧的弹性分支，动平台和定平台通过中间分支弹性连接，从而建立起3-UPS/S并联稳定平台样机的静刚度模型。

图4 样机刚度拓扑图Fig.4 Stiffness topology of prototype

当动平台承受外负载时，由静力学全解[9]可以计算出中间分支受力F0和驱动分支i沿杆方向受力Fi。由串联弹簧刚度计算可以得到UPS驱动分支i的轴向刚度

(16)

由式(16)可得第i个分支沿杆方向的变形误差

δli1=Fi/ki

(17)

中间分支的变形引起的动平台位置误差为

(18)

由式(17)、式(18)可知，变形的实质是各分支杆长的变化，因此可将式(17)、式(18)得到的变形误差代入到几何误差传递模型，得到变形误差模型：

(19)

δL1=[δl11δl21δl31]T

式中，δH1为变形误差单独作用下的动平台姿态误差。

2.3 误差线性叠加及算例分析

3-UPS/S并联稳定平台属于非过约束机构，变形误差与几何误差可以线性叠加[5]，从而得到机构几何误差与变形误差线性叠加的传递模型：

(20)

式中，δH0为几何误差与变形误差共同作用下的动平台姿态误差。

3-UPS/S并联稳定平台样机的实际几何参数及液压缸的主要几何参数如表1所示。当动平台处于初始姿态(水平姿态)时，动平台主要承受垂直向下的负载F。此时，在变形误差单独作用下，由式(19)可以通过MATLAB编程算出动平台的姿态误差随负载F的变化曲线，如图5所示。

表1 样机的几何尺寸参数

图5 变形误差随负载变化曲线Fig.5 Curve of deformation error changing with load

从图5中可以看出，当负载超过5 kN时，γ的姿态误差达到1°，所以平台满载时的变形误差对动平台姿态误差的影响是不可忽略的。

在图6所示的运动轨迹下，由式(16)可以算出驱动分支刚度，如图7所示。在图6所示的运动轨迹下，给定外负载(10 kN)、几何误差(表2)时，由式(12)、式(19)、式(20)可以分别算出几何误差与变形误差单独作用以及二者线性叠加时的动平台姿态误差，如图8所示。

图6 动平台运动轨迹Fig.6 Trajectory of moving platform

图7 驱动分支刚度Fig.7 Stiffness of active branch chain

mm

(a)几何误差引起动平台误差

(b)变形误差引起动平台误差

(c)线性叠加的动平台误差图8 动平台姿态误差(γ=28°)Fig.8 Attitude error of moving platform(γ=28°)

通过数值计算可以看出，几何误差与变形误差共同作用时，它们不是单纯地使输出姿态误差增大，还可能互相抵消，使输出姿态误差减小，而且输出姿态误差与动平台的姿态有关。

3 满载工况下的运动学标定模型

无论是几何误差还是变形误差，都需要通过调节驱动杆长度来补偿，因此，运动学标定模型必须依托于几何误差模型。3-UPS/S并联稳定平台机构的误差源很多，不可能全部分离辨识。又由于动平台的位置误差会直接影响上平台球铰的位置误差，因此可以将其整合到动平台上的球铰位置误差中。从而对几何误差模型(式(12))进行简化，得简化后的标定模型：

J2δH=δL-J3δP=[E-J3][δLδP]T

(21)

式中，E为3阶单位阵。

实验室中的运动学标定是在满载情况下进行的，所以要辨识几何误差模型参数，需要先分离出变形引起的动平台姿态误差。由式(20)可得

δH=δH0-δH1

(22)

对式(21)进行整理可得

δH=WδR

(23)

式中，W为位姿的参数识别雅可比矩阵；δR为机构的误差参数识别矩阵。

待标定的误差模型参数包括3类共21项误差：①驱动杆误差δli；②定平台上的虎克铰的位置误差，即铰链点i的误差δxAi、δyAi、δzAi；③动平台上的球铰位置误差，即铰链点i的误差δxBi、δyBi、δzBi。

对于测量的每个姿态点可列出3个方程，这样就至少需要测量7个姿态来求解这21个未知数。设测量了n组位姿，为了使误差计算的更加准确，这里取n>7，此时式(23)成为一个超定方程组，由最小二乘法可求得该超定方程组的解：

δR=(WTW)-1WTδH

(24)

式(24)即为该机构的几何误差标定模型，在试验中，选取的测量位姿点要保证矩W不奇异，同时保证WTW的奇异值不能过小[4]。

4 运动学标定实验

运动学参数辨识是并联机构运动学标定中的一个核心环节。对于承受重载的并联机构，测量的姿态误差是由几何误差与变形误差耦合作用引起的，要进行运动学标定，辨识几何误差参数，需要先分离出变形误差引起的动平台误差。再通过最小二乘法辨识出并联稳定平台的几何误差模型参数，用辨识得到的几何误差参数修正几何参数，并将修正后的几何参数代入反解控制模型，从而实现并联机构的运动学几何误差补偿。整个几何误差参数辨识的计算过程是通过MATLAB软件编程来实现的。根据文献[6]提出的辨识流程如图9所示，图9中，R为机构的结构参数识别矩阵，R0为理想结构参数矩阵。

图9 误差参数辨识流程图Fig.9 Flow chart of error parameter identification

4.1 姿态测量原理

为保证动平台姿态测量的精度，避免测量精度不够对运动学标定实验的影响，本文实验采用的测量装置是CREAFOR公司的C-TRACK780激光跟踪仪(测量精度为0.025 mm)。稳定平台满载时，激光跟踪仪测量的布局如图10所示，在动平台上固定添加一个1 t的铁块。本次实验共测量了8个位姿点。由空间几何知识可知三点确定一个平面，因此要确定动平台的空间姿态，至少要在动平台上测量3个参考点的坐标。如图11所示，根据动平台上已有的参考点B1、B2与B3在动平台上表面选择3个测量点D1、D2、D3来确定动平台的姿态。其中，D1D2平行于动坐标系的x轴，D3与D1D2不能共线。在不同的测量姿态点处，测量点D1、D2与D3的位置选择可以是不同的，要根据实际测量的需要确定，每个姿态点处的测量点的实际坐标由激光跟踪仪测量得到。

图10 满载时激光跟踪仪测量现场Fig.10 Laser tracker measurement field in full load condition

图11 动平台上测量点分布图Fig.11 Measuring point distribution on the moving platform

安置激光跟踪仪，建立测量坐标系{m}。此时测量坐标系与定坐标系间的坐标变换是由一般平移变换和旋转变换组合而成的。由坐标变换的相关知识有

(25)

安装好激光跟踪仪后，在图12所示的中心球铰外表面上任意测量点P1、P2、P3与P4的坐标，此时有

|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|

(26)

图12 球铰表面测量点图Fig.12 Measuring point on the surface of spherical hinge

由式(26)即可求出球铰中心在测量坐标系下的坐标mO。再通过测量和计算可得到测量坐标系与定坐标系之间的一般旋转变换矩阵

(27)

其中，x1、y1、z1分别为固定坐标系的x、y、z方向的单位方向向量在测量坐标系下的表示。同理，由定平台上已有的参考点A1、A2与A3，在定平台上选择3个测量点D4、D5、D6，且D4D5平行于定坐标系的x轴，D6与D4D5不能共线。此时有

(28)

由动坐标系与定坐标系之间的旋转变换可得

(29)

(30)

由式(27)可得

(31)

(32)

式中，Atan2(x,y)为双变量反正切函数。

4.2 实验数据与结果

实验共测量8个姿态点，理论姿态角的RPY角表示如表3所示。

表3 RPY角表示的理论姿态

已知实验稳定平台样机满载时的承重为10 kN，此时可由式(19)计算出8个位姿点处由变形引起的动平台姿态误差δH1的分量，见图13。

图13 标定前满载时变形误差引起的姿态误差Fig.13 Posture error caused by the deformation error before calibration in full load condition

由图13可知，在8个测量姿态点处，变形引起的姿态误差中，|δγ1|较大，因此在重载下要辨识几何误差，需要分离出变形引起的姿态误差。在稳定平台满载工况下，由激光跟踪仪测量并计算出动平台实际位姿误差，即误差标定前满载时动平台总姿态误差(图14)。

图14 标定前满载时的总姿态误差Fig.14 Total posture error before calibration infull load condition

3-UPS/S并联稳定平台属于非过约束机构，变形误差与几何误差可以线性叠加[5]，从图14中分离出由变形引起的姿态误差(图13)，可得几何误差单独作用引起的平台姿态误差δH，并由此完成运动学标定试验。运动学标定是测量—计算—再测量这样一个循环进行的过程，按照图9所示的辨识流程，共进行了5次迭代实验，得到的最终误差参数辨识结果如表4所示。

表4 几何误差模型参数辨识结果

4.3 误差补偿

本文通过控制驱动杆输入来补偿动平台姿态误差。满载时要补偿的误差包含由几何误差与变形误差引起的动平台姿态误差。依据运动学标定实验得到的几何误差模型参数辨识结果，与由变形误差模型计算得到的机构几何参数变形量，共同修正机构的几何参数来补偿动平台姿态误差。由式(5)计算补偿后的运动学反解，得到补偿后的各驱动分支的杆长：

L=h+δh+T(wBi+δuBi)-(wAi+δwAi)-δL

(33)

由式(33)即可完成两类误差的补偿。误差补偿后，让实验稳定平台再次运动到各姿态点处并使用激光跟踪仪进行位姿测量，测得标定后的满载时的动平台姿态误差δH′的分量，见图15。

图15 标定后满载时的姿态误差Fig.15 Posture error after calibration in full load condition

从图14、图15中可以看出，误差补偿后，并联稳定平台的位姿精度得到了明显的提高，误差标定补偿前，动平台姿态的平均绝对误差为1.29°，误差标定补偿后，动平台姿态的平均绝对误差为0.61°。

5 结论

(1) 建立了3-UPS/S并联稳定平台机构的几何误差模型和变形误差模型。平台满载时，将两类误差进行线性叠加，得到满载稳定平台总的误差模型。

(2) 在平台满载工况下进行了标定测量，分离了变形误差，辨识了几何误差模型参数。基于几何误差传递模型和变形误差模型，利用机构运动学反解在满载荷工况下完成了稳定平台的运动学标定，实现了两类误差的补偿。通过标定实验，验证了这种标定方法收敛速度快，经过5次迭代，精度可显著提高，证明了标定方法的有效性。

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(编辑 张 洋)

Error Analysis and Kinematics Calibration of 3-UPS/S Parallel Stabilizing Platform in Full Load Conditions

LI Yukun1,2LI Yongquan1,2SHE Yazhong2,3ZHANG Lijie2,3

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Compared to geometric errors, output accuracy of moving platform influenced by deformation errors might not be ignored when the loads of any parallel mechanism reached a certain values. Geometric and deformation error models were established based on parallel mechanism， which were studied for an electro-hydraulic 3-UPS/S stabilized paltform, and a total error transfer model was established by linear superposition of geometric and deformation errors. Based on the geometric error model, a kinematics calibration model of the stabilized platform was established. Kinematics calibration experiments were completed in full load conditions, positions of the reference points on moving platform were measured. Posture errors δH0of the moving platform were calculated, geometric errors δHwere obtained by separating the deformation errors δH1, and then the calibrations of geometric error parameters were completed based on least-square method.

parallel mechanism; geometric error; deformation error; kinematics calibration

张丽娇，女，1989年生。福州大学机械工程及自动化学院博士研究生。主要研究方向为空间机器人动力学建模与控制。发表论文3篇。E-mail:lijiaoz@126.com。陈 力，男，1961年生。福州大学机械工程及自动化学院教授、博士研究生导师。

2016-06-06

国家自然科学基金资助项目(51405421，51275438)；河北省自然科学基金资助项目(E2015203101)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.014