磨损状况下聚晶金刚石钻头切削齿的切削参数求解

马亚超 黄志强 李 琴 彭世金 谢 豆

1.西南石油大学机电工程学院，成都，6105002.西南石油大学实验室与设备管理处，成都，610500

磨损状况下聚晶金刚石钻头切削齿的切削参数求解

马亚超1黄志强1李 琴1彭世金2谢 豆1

1.西南石油大学机电工程学院，成都，6105002.西南石油大学实验室与设备管理处，成都，610500

针对磨损状况下PDC钻头切削齿的切削参数预测方法尚未建立，无法很好地开展等磨损布齿设计的问题，建立了磨损齿的几何模型，并提出了求解切削参数的零点遍历法。基于MATLAB平台对零点遍历法进行编译，并对切削齿的切削弧长、切削面积和切削体积进行求解。结果表明，提出的零点遍历法能够用于磨损齿和未磨损齿的切削参数求解(误差在2%以下)；结合切削齿的受力与磨损模型，能够预测PDC钻头每颗齿的磨损趋势。

聚晶金刚石钻头；切削齿；磨损；切削参数；零点遍历法

0 引言

聚晶金刚石复合片(polycrystalline diamond compact，PDC) 钻头自诞生以来，在世界油气钻井总进尺中的比例已由1988年的5%增长到现在的90%，其钻进效率已是二三十年前的5～10倍[1]。

从提升PDC钻头性能的角度讲，PDC钻头最理想的工作状态是切削齿的均匀磨损，即符合等磨损布齿原则。然而该原则至今没有真正实现，其主要原因是切削齿的均匀磨损设计需要精确计算钻进过程中每颗切削齿的切削载荷，而切削载荷是关于岩性、机械钻速和钻头转速等参数以及切削弧长、切削面积等切削参数的函数。目前，国内外的研究多集中在未磨损齿的切削参数求解，如采用微积分对切削参数进行数值计算[2]；采用计算机模拟切削齿的真实破岩过程，通过切削齿与岩石间的布尔减运算求解切削参数[3]；建立切削齿与岩石的三维模型并离散成3D网格，通过有限元仿真求得切削参数[4-5]。对磨损PDC钻头切削齿的切削参数研究还未见相关报道，这势必导致无法准确预测切削齿的受力变化和磨损趋势，也就无法从根本上解决磨损不均问题。

本文根据PDC钻头的实际钻进情况，考虑切削齿的空间位置以及先后切削顺序，分析了切削齿的实际切削参数，提出了一种求解磨损齿切削参数的新方法。

1 磨损齿几何模型的建立

图1 切削齿磨损的主要形式Fig.1 The main wear type for PDC cutters

图2 磨损齿几何模型Fig.2 Geometry modeling for wear cutters

PDC切削齿最具代表性的磨损形态为弦截圆，如图1所示[6]。结合IADC (international association of drilling contractors) 制定的固定切削齿磨损分级系统中的磨损模型，将磨损齿抽象为图2中的几何模型，其中，实线代表了磨损齿的齿刃边线，齿刃边线上的任意一点坐标如下：圆弧段齿刃边线的一点的坐标(x4，y4，z4)=(rcsinφ，0，rccosφ)；直线段齿刃边线(垂直于切削齿包络线的法线，即图2中的Z4轴)上的一点(x4，y4，z4)=((rc-Hd)tanφ，0，rc-Hd) ，其中，rc为切削齿半径；φ为齿面轮廓线上任一点与齿心的连线和Z4轴的夹角；Hd为磨损高度。

2 磨损齿切削参数分析

为计算磨损齿的切削参数，将PDC钻头上的切削齿向钻头轴截面Mi内投影，并取出5颗相邻齿，从左至右的编号依次为i-2、i-1、i、i+1和i+2，如图3所示。经统计分析，第i颗磨损齿的实际切削参数与轴截面Mi内的8条齿刃边线投影相关。PDC钻头当前钻进过程中，第i、i-1、i-2、i+1、i+2颗磨损齿的齿刃边线投影的编号分别为p、p-1、p-2、p+1、p+2；前一圈钻进过程中，第i、i-1和i+1颗磨损齿的齿刃边线投影的编号分别为p′、p′-1、p′+1。

图3 PDC钻头磨损齿切削岩石示意图Fig.3 Rock breaking of wear cutters in PDC bit

考虑齿的螺旋钻进，设第i颗齿上一圈钻进过程中，通过轴截面Mi时的标高为h0，PDC钻头每转的进尺记为δ，对齿刃边线上的任意一点坐标进行坐标变换，求解得到上述8条齿刃边线投影[7]：

(1)

(2)

(3)

式中，m为不同钻进状态下δ的差值系数；n为齿刃边线投影编号；r为齿刃边线上任一点在钻头轴截面中的轴向坐标；h为齿刃边线上任一点在钻头轴截面中的径向坐标；θ为切削齿的周向角；α为切削齿的前倾角；β为切削齿的侧转角；γ为切削齿的法向角；下标c代表关于齿心的参数；Rc为齿心在钻头轴截面中的轴向坐标；Hc为齿心在钻头轴截面中的径向坐标。

当n=p-2，p-1，p，p+1，p+2时，磨损齿处于当前圈钻进状态，m=1；当n=p′-1，p′+1，p′时，磨损齿处于前一圈钻进状态，m=0。

根据式(1)～式(3)，绘制出了磨损齿螺旋钻进情况下的8条齿面边线投影，如图 4所示，图中阴影区域面积为第i颗磨损齿的切削截面面积，虚线为第i颗磨损齿的切削弧。切削截面绕钻头中心轴旋转一周所形成的切削环体积为切削体积。

图4 磨损齿的切削参数Fig.4 The cutting parameters of wear cutters

3 磨损齿切削参数求解

3.1 零点遍历法的提出

通过对大量切削截面的研究分析得到：不管是磨损齿还是未磨损齿，齿刃边线上φ=0的点均为关键点，如图5中虚线上的圆点所示，称这些圆点为“零点”。

图5 切削齿上的零点Fig.5 Zero points of cutters

由图2可得，零点与齿心的连线为切削齿包络线的法线(图2中的Z4轴)，而法线是垂直于岩石表面的，因此零点必定参与破碎岩石，同时也必被切削弧长所包含。基于此，提出一种从零点开始并在齿刃上进行双向遍历[8-9]求解切削参数的方法——零点遍历法。零点遍历法的遍历路径如图 6所示，从零点开始，沿齿刃向两边遍历，直到遍历路径围成环后终止，再根据所得的遍历路径计算切削参数。这种遍历过程与切削参数的求解均通过MATLAB编码实现。

图6 磨损齿的遍历路径Fig.6 Traversal path of a wear cutter

3.2 切削参数具体求解步骤

切削参数的具体求解步骤如下：

(1)由零点X0开始，沿第p条齿刃边线投影向左遍历，求出与第p条齿刃边线投影最先相交的点X1与齿刃边线N1。

(2)由零点X0开始，沿第p条齿刃边线投影向右遍历，求出与第p条齿刃边线投影最先相交的点X2与齿刃边线N2。

(3)点X1沿N1号齿刃边线投影向右遍历，求出与N1号齿刃边线投影最先相交的点X3和齿刃边线N3。

(4)点X2沿N2号齿刃边线投影向左遍历，求出与N2号齿刃边线投影最先相交的点X4和齿刃边线N4。

(5)若N3与N4不是同一齿刃边线的投影，则令X1=X3，N1=N3，X2=X4，N2=N4，返回到步骤(3)继续计算；若N3与N4是同一齿刃边线的投影，则终止遍历，并记录遍历路径。

(6)将遍历路径离散成K个点，构建K边形，并求出K个点在钻头轴截面内的坐标(xi，yi)，i=1，2，…，K。

(7)求解切削截面积A、切削体积V，分别为

(4)

V=2πRA

(5)

(6)

式中，R为K边形的形心到钻头轴心的距离。

步骤(1)～步骤(5)与图6中的序号对应，为遍历过程；步骤(6)～步骤(9)是对遍历过程的数据处理，以用于求解切削参数。

在上述求解过程中，N1、N2、N3和N4代表了7条齿刃边线投影p-1、p-2、p+2、p+1、p′、p′-1和p′+1中的某一条。K边形的边数影响了切削参数的求解精度，K边形的边越多，求解越精确。在下一节的计算中，K均取1000。

3.3 求解结果与分析

目前已有的切削参数求解算法的对象均是未磨损齿。为了便于将零点遍历法与已有算法进行对比分析，特将零点遍历法的求解范围拓展至未磨损齿切削参数的求解领域，此时式(3)中的Hdn设置为0，切削参数的具体求解步骤不变。

3.3.1 未磨损齿切削参数求解结果

以MATLAB程序设计平台为基础，将零点遍历法编译为MATLAB语言，并对某五刀翼PDC钻头上未磨损齿的切削弧长和切削体积进行求解。为便于比较，同时采用文献[4]中的PDC钻头钻进仿真数字化技术对上述参数进行了求解。如表 1所示，2种求解方法所得的切削弧长相对误差为1.13%，切削体积相对误差为2.00%，误差较小，验证了零点遍历法求解未磨损齿切削参数的正确性。

3.3.2 磨损齿切削参数求解结果

采用零点遍历法及Pro/E建模法对钻头上不同部位磨损齿的切削截面形状及面积进行分析与求解。为保证Pro/E建模法的可行性，将切削齿的前倾角和侧转角均设为0，在Pro/E的草绘模块输入相应的尺寸位置参数，绘制切削截面并进行测量，所得结果如表 2所示，2种算法求得的切削截面形状一致，切削截面面积的相对误差为0.035%。但Pro/E建模法只能对单齿进行手动操作计算，不能实现快速科学的计算。切削截面求出后，切削弧长、切削体积等其他切削参数的求解就迎刃而解，因此，零点遍历法可用于磨损齿切削参数的求解。

3.3.3 求解效率和精度分析

采用零点遍历法对PDC钻头上切削齿的切削参数进行求解，所需的求解时间约为5min。UG/Open二次开发技术和PDC钻头钻进仿真技术的求解时间分别为0.36 min和72 min[5]。零点遍历法中，离散的K边形边数影响计算精度，采用直径为19 mm的圆进行测试，当离散点数为628，即用628边形面积代表圆面积时，计算精度达到1×10-8m，而零点遍历法中每条齿刃边线投影的离散点数为1000。PDC钻头钻进仿真技术采用的是有限元仿真技术，网格越大、精度越低，实验采用的网格尺寸在1mm左右；UG/Open二次开发技术的理论精度等级为1×10-6m[5]。因此，零点遍历法与上述两种方法相比，计算精度成倍增加，同时保证了计算时间不至于过长。此外，零点遍历法的精度能够人为调节，可以很好地平衡精度与效率两者之间的关系，适应不同的计算需求。

表1 PDC切削齿的切削弧长和切削体积

表2 磨损齿的切削截面形状及面积

4 应用实例

4.1 钻头受力分析

根据某A型钻头在在渤海油田KL20-1-1井钻穿泥质砂岩层段的实际钻井记录，钻头的每转平均切深为4 mm，地层可钻性极值为3.2。结合PDC钻头受力模型[10]，对钻头进行受力分析，并将与实际钻进中的PDC钻头受力状况进行对比。如表 3所示，钻压W、扭矩T的计算误差分别为0.95%和4.67%，验证了该方法可用于钻头的受力分析。

表3 A型钻头的力学参数比较

4.2 磨损趋势预测

结合PDC钻头磨损模型[11]，可对切削齿的磨损趋势做出预测。图 7所示为某PDC钻头上的32颗切削齿在不同时间(第7号齿磨损4 mm时的时间记为1)下的磨损趋势预测。可以看出，随着磨损时间的延长，磨损量不断增大；随着齿号的增大，磨损量呈先增大、后减小的趋势，且处于PDC钻头冠顶部位的切削齿(7～12号)的磨损量最大，这与PDC钻头在真实钻进中冠顶部位齿磨损严重[6]的现象相符(图8)。因此，基于零点遍历法的切削齿磨损趋势预测是可行的，且能够量化不同时间段内的磨损量，为等磨损布齿的设计与评价提供依据。

图7 钻头上各个齿的磨损趋势预测Fig.7 Wear trend predicting for each cutter in PDC bit

图8 PDC钻头磨损严重的冠顶部位齿Fig.8 High wear cutters on the nose of PDC profile

5 结论

(1)构建的齿刃边线投影方程能很好地表述磨损齿的切削弧和切削截面等切削参数的特征。

(2)提出的零点遍历法能够用于磨损前后切削齿切削参数的求解。零点遍历法与Pro/E建模法的相对误差为0.035%，与钻进仿真数字化技术的相对误差小于2%。

(3)零点遍历法的求解精度为1×10-8m，计算精度能够人为调节，适应不同的计算需求；采用零点遍历法，并结合切削齿受力和磨损模型，能预测钻头上每颗切削齿的磨损趋势，为等磨损布齿的设计与评价提供依据。

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(编辑 张 洋)

Calculation of Cutting Parameters of Cutters of PDC Bit under Wear Conditions

MA Yachao1HUANG Zhiqiang1LI Qin1PENG Shijin2XIE Dou1

1.Mechatronic Engineering College,Southwest Petroleum University,Chengdu,610500 2.Laboratory and Equipment Management,Southwest Petroleum University,Chengdu,610500

For the problems of cutting parameters calculation and cutter layout design under wearing conditions might not meet the requirements of equal wear principles very well, a geometric model of waring cutters was built. Zero point traversing method used to calculate the cutting parameters was proposed. Then, cutting arc length, cutting area and cutting volume were calculated by zero point traversing method based on MATLAB software. The results reveal that zero point traversing method may be used to calculate the cutting parameters of wearing cutters and unworn cutters, and the calculation error is less than 2%. Combined with the force model and the wearing model, the wear tendency of the cutters in PDC bit may be predicted.

polycrystalline diamond compact(PDC) bit; cutting tooth; wear; cutting parameter; zero point traversing method

赵林峰，男，1979年生。合肥工业大学汽车与交通工程学院副教授。主要研究方向为车辆动力学与控制。发表论文20余篇。E-mail:13856952050@163.com。徐 磊，男，1992年生。合肥工业大学汽车与交通工程学院硕士研究生。陈无畏，男，1951年生。合肥工业大学汽车与交通工程学院教授、博士研究生导师。

2016-06-02

TE921

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.016