基于Logistic模型的均值突变时间序列临界预警研究

【摘要】突变理论由托姆在1972年创立，是系统在不同稳定状态之间的转变，广泛存在于在气候变化、传染病暴发等复杂非线性系统中，通过系统的控制参数、状态变量进行描述。本文首先分析了构造和临界分析，然后分析了模型的可行性，最后分析了了模型的突变及其临界行为。

【关键词】Logistic模型 均值突变时间 临界预警

【中图分类号】O241.8 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）34-0236-02

1.構造与临界分析

Logistic模型又称为虫口模型，是一种基于有限资源下，虫口向一个有限数量的非线性进行扩展的过程，其方程可以表述如下：

x=ωx-kx2=xω-kx （1）

其中代表虫口的数量，ω-kx代表增长系数，ω代表资源总量，k代表单位虫口的消耗量，上式的解析解是：

x=ω/k1+ce-ωt （2）

其中c为常数，与初值x0、t0、ω、k相关，c=ω-kx0kx0eωt0

本文在方程（1）的求解过程中，构造如下差分格式：

xi+1=xi+τωxi-kx2i （3）

数值求解的结果存在于数组xi中。

方程（1）对系统状态变量随时间的增长速率进行表征，这是其物理意义。在变量不再发生改变的情况下，系统实现两个平衡态，也就是 x=0时，x1=0，x2=ω/v。其中一个为暂时平衡态，另一个是稳态平衡态，这个模型中系统初值只能取正值，相关参数也只能取正值，为了对一般意义上的情况进行讨论，代换（1）式，令μ=ω/k，在全空间取值，得到x=kxμ-x。

2.模型的可行性分析

通过上文构造的差分格式对数值结果进行求解，控制于该模型的系统状态变量如果与反向平衡态有所偏离，则意味着其无法稳定存在，发散速度很快，系统状态变量的变化趋势是无穷大，否则趋向于，在控制参数k较小，且大于零的情况下，系统总是稳定存在，并且其变化趋势为；在k<0的情况下，系统总是稳定存在，变化趋势是 x=0，发现系统初始状态系统总是趋向于x；在x=0，在系统初值变化区间为0-的情况下，无法对系统的趋向进行准确判断。

3.模型的突变分析及其临界行为

对Logistic的模型参数不同，对突变情况进行分析的结果也不同，如图1所示，其中图1（a）是在固定k=0.01的情况下，取值不同的情况下系统的突变情况，参数对其突变程度进行了描述，突变程度越大，系统状态变量趋近于的时间随着突变程度的增大而缩短，图1（b）是在固定的情况下，系统状态变量随着参数K的取值的不同不断趋向于平衡态的情况，k值对状态变量向平衡态趋近的速率进行了描述，系统完成突变的时间随着速率的增加而缩短。突变过程越大，危害程度也相应越大。

为了对系统突变造成的危害进行进一步描述，本文对突变强度进行定义：

η=x0.95μ-x0.05μt0.95-t0.05

系统初值取x0=0.01，t0=0，η的数值结算随着参数μ，k的不同取值结果得出不同的数值结果，控制参数的取值不断变大，系统突变强度也不断变强，且系统突变强度的增长速度和μ2、k呈现出正相关关系。

η=α-βμ2kInχ，χ=α1-ββ1-α （4）

其中α=0.95，β=0.05，参数μ，k共同决定系统的突变强度。

系统初值取，的数值结算随着参数，k的不同取值结果得出不同的数值结果，控制参数的取值不断变大，系统突变强度也不断变强，且系统突变强度的增长速度和2、k呈现出正相关关系。

方程（1）等号两边对时间同时求导，求导之后能够得到系统回复力的函数表达式：

x=μkx-2kxx=2k2xx-μ/2x-μ （5）

系统的回复力在x=0，x=μ/2，x=μ处为零。如图2所示，各参数取值分别为：x0=0.01，μ=4.0，k=0.001

（a）系统状态变量随时间的演化；（b），（c）分别是对应的回复速率和回复力随时间的演化情况

本文通过非线性方程构造突变模型，定义强度指数，研究了系统回复力变化情况，由于受制于资料长度，本文仅检验了一次突变个例，是否对其他突变依旧具有警示意义尚需要更加深入的验证，除此之外，多种要素耦合之下产生实际突变，怎样及早确定预警信号，在今后的实际工作中亟需解决。

参考文献：

[1]陈忠升.中国西北干旱区河川径流变化及归因定量辨识[D].华东师范大学，2016.

作者简介：

王艳（1985-），女，宁夏人，硕士研究生，研究方向：代数表示论。