一道金典中考几何题的解析

谢忠甫

如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线。

（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长。

考点：切线的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.菁优网版权所有。

分析

（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，则∠COB=2∠OCA，又∠C OB = 2∠P C B，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直径，可知∠OCA+∠OCB=90°，从而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，从而可证CP是⊙O切线；

（2）连接BM，由于M是弧AB中点，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，则∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，从而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可證△BOC是等边三角形，从而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函数值可求AM.

解答

解：（1）∵O A = O C，∴∠OAC=∠OCA，∴∠COB=2∠OCA，

∵∠C O B = 2∠P C B，∴∠OCA=∠PCB，

∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCO=90°，

∵点C在⊙O上，∴PC是⊙O的切线；

（2）连接BM.

∵M是⊙O下半圆弧中点，∴弧AM=弧BM，∴AM=BM，

∵AB是⊙O直径，∴∠AMB=90°，∴∠BAM=∠ABM=45°，

∵AC=PC，∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB，∴BC=BP，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB，

∵∠B O C = 2∠C A O，∴∠BOC=∠OBC=∠OCB，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC，

∵PB=3，∴BC=3，∴AB=6，

在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=sin45°×AB=3

点评

本题考查了圆周角定理、切线的判定、等边三角形的判定和性质、特殊三角函数值的计算.解题的关键是连接BM，构造直角三角形AMB，并证△BOC是等边三角形。