高中数学中化归思想的教学思考

蒋晓勇

[摘 要] 本文从化归思想的概念以及形式研究出发，结合教学实践，对其教学策略进行了深入的探讨.

[关键词] 高中数学；化归思想；教学思考

化歸思想是高中数学中最重要的思维方法之一，怎样在教学中培养学生的相关思想？下面是笔者的一些思考.

[?] 化归思想的内涵及其基本形式

1. 化归思想的概念

什么是“化归”？化归事实上是转化和归结两个动作的简称，是数学问题研究者运用联系和动态的视角，将繁难而陌生的问题A，通过某种数学过程转化为简单而熟悉的问题B，从而使得原问题得到更加快捷而正确处理的手段和方法. 其具体实施流程如图1所示.

化归思想实际上是人类探索自然、解决问题的一般化认知规律和思维方法的体现，它涵盖着一个由未知到已知、由陌生到熟悉、由抽象到具体的过程，即让人们以自己更加熟悉、更加直接的方式来处理繁难、陌生的问题. 因此我们不能将其单独地视作一种解题方法，而应该将其作为一种重要的思维方法. 在高中数学的学习过程和问题处理过程中，化归思想的使用是非常频繁的.

2. 化归思想的基本形式

正如前面所述，化归思想广泛地运用于高中数学的学习之中，总结起来，大致可以分成以下几类情形.

（1）数与数之间的化归

所谓“数与数之间的化归”，就是通过某种规律，将未知数转化为已知数. 当然，这其中还包括对复杂的解析式进行化简，以及通过变形对方程求解；对不等式进行变形求出相应的解集，以及函数式、方程式、不等式相互之间的转化，等等.

（2）形与形之间的化归

所谓“形与形之间的化归”，就是通过对未知陌生的图形进行分割、折叠等处理，将其转化为已知的熟悉图形，以及将空间图形转化为平面图形，以方便采用平面几何的方法来处理空间几何的问题.

（3）数与形之间的化归

所谓“数与形之间的化归”，就是数学中常说的“数形结合”，它往往体现为将图形转化为函数，采用函数的方法来处理几何问题；或是画出函数的几何图像，结合图像上的特点来认知函数规律，分析函数问题. 此外复数以及相关运算的几何意义，解析几何中的处理方法等都是化归思想的集中体现.

[?] 化归思想教学的基本策略

化归思想是数学思想在高中数学中的重要体现，有着无穷的内在魅力. 那么我们如何在高中数学课堂为学生揭开它神秘的面纱呢？下面，笔者联系高中数学的教学实践，谈谈自己对此的几点体会.

1. 展现知识形成过程中的化归思想

新课程体系下数学教学强调让学生经历知识的形成过程，从而增强学生对过程的体验，并由此领会其中的科学思想和方法. 因为知识的形成过程本身就对应着新旧知识之间的关联性，学生经历该过程，不仅有助于他们获取相关知识，更将体验知识结果的形成过程，比如概念的总结过程、问题的提出过程、规律的探索过程、结论的推理过程、方法的寻找过程等.

事实上，在这一系列过程中，一些深层次的数学思想就起着举足轻重的作用. 教师在教学实践中，能够立足于课程标准的要求，积极发掘数学知识背后的方法论价值和思想价值，引导学生在掌握知识的同时，也能积极掌握相关现象，推动学生数学认知和思想的螺旋上升，这对高中数学教学的“返璞归真”有着重要意义. 例如，在引导学生对两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ进行推导时，教师就要让学生联系已经熟知的两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，并由此展开联想和转化：将β以-β的形式代入两角和的余弦公式，则可以直接得出两角差的余弦公式. 通过上述操作，学生就能从数学思想的层面来领会知识的来龙去脉，这样的操作不仅有助于学生掌握知识本身，更重要的是他们在化归思想的认识上能更进一步.

2. 在知识运用阶段体会化归思想

在学习新知识的过程中，作为学生学习的引导者和组织者，教师的教学不能止步于数学知识的传授，而应该在教学过程中积极而充分地尊重学生的认知规律，启发学生结合已有的经验基础，主动而自觉地运用化归思想来理解知识、分析问题，巧妙地将知识的学习过程转变为数学思想的培养过程. 在上述过程中，教师积极分析教学内容，将数学知识中隐性的方法元素和思想因素提炼出来，再辅以恰当的教学方法让学生得到熏陶和感染，由此他们的能力将得到提升，对化归思想的认识也将进一步深化. 当然，教师更要精心地设计教学过程，抓住能力的生长点，促进学生实现知识和方法上的迁移.

数学知识的运用主要是学生结合对概念、定理、公式和方法的理解，在具体问题处理过程中，合理地采用相关知识和方法，由此实现问题的解决. 教师在这一过程中积极发挥自身的引导作用和启发作用，为学生呈现更加生动而真实的情境，并引导学生积极地对其进行探索和思考，鼓励学生结合化归思想，将某些陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，最终实现问题的有效解决. 在学生对化归思想进行应用时，教师要鼓励学生敢于实践自己的设想，同时也要促进学生在合作与交流中，分享自己的认识，通过相互启发、相互纠正来实现相关操作的完善，强化他们对化归思想的认识. 当然，相应的过程也将帮助学生进一步领会数学知识和方法的内涵. 在实际教学中，有关于化归思想在应用中的渗透还有一些具体的做法，比较典型的做法就是在变式训练中渗透，但是在教学内容的设计上要留有弹性空间，要关注不同学生在学习需求上的差异.

（1）在知识体系的构建上渗透化归思想

高中数学知识有着一个较为庞大的体系，学生在学习过程中要善于归纳和整理，唯有如此才能形成数学知识体系化的建构. 在这一过程中，教师要引导学生积极对相关知识进行比较，寻找知识间的关联性和相似性，以化归的思想来寻找知识之间的转化契合度，这一方面有助于学生领会知识之间的关联，另一方面也有助于学生对相关知识灵活的运用. 例如，在引导学生对圆锥曲线和方程进行梳理时，教师可以引导学生结合椭圆知识的已有基础，将双曲线和抛物线的相关知识转化到椭圆的研究方法上. 当然在上述过程中，教师的点拨要能适可而止，要敢于放手让学生自主整理和归纳，这样才可以强化他们对化归思想的认识.

（2）在变式训练中渗透化归思想

数学教学中变式训练能帮助学生发展举一反三的能力，同时也能引导学生发现那些似是而非的问题之间的区别而关联，从而有利于学生化归思想的运用.

原题：已知某函数y=f（x）是在区间[-1，1]的减函数，且为奇函数. 若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，请确定a的取值范围.

解析：由f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，可得f（a2-a-1）>-f（4a-5）=f（5-4a）. 由于y=f（x）在区间[-1，1]为减函数，因此可得a2-a-1<5-4a，所以a2+3a-6<0.

综合三个不等式：-1≤a2-a-1≤1，-1≤4a-5≤1，a2+3a-6<0，可得结论：1≤a<.

变式题：已知有函数f（x）=，x∈[-1，1]，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，请确定a的取值范围.

解析：本题如果采用代入法来处理，则是一个非常复杂的过程. 如果对比一下原题的解析过程，我们可以预先判断一下函数的奇偶性和单调性，由此寻找它与原题之间的关联，这样即可快捷地运用化归思想来对变式题进行转化.

3. 在巩固知识的过程中挖掘化归思想

新知识的学习离不开有效的巩固，在知识的形成过程中，教师引导学生对其中的化归思想进行了认识，但是这种认识是不够全面、不够完善的，因此在巩固阶段需要有意识地强化和体验，让学生将化归思想内化为自发自觉的意识和习惯.

知识的巩固过程离不开恰当的作业设计，教师在进行作业设计时要注意对学生思维的激发，要关注学生思路的激活，要能有效地引导学生进行智力活动，从而在不同角度探求问题的解决方法. 其中，有关化归思想的运用就是比较重要的方面，教师在相关问题的设计中要注意在情境设计和字句斟酌中隐晦地对学生进行启发，暗示学生对问题进行转化，由此促成学生对化归思想的运用.

教学实践告诉我们，任何一种方法的教学、任何一种思想的培养都有一个循序渐进的过程，而这些都需要教师循循善诱地引导. 当然，我们也有理由相信，只要教师精心设计、有效渗透，学生的化归思想一定会有明显进步.