例谈初中数学几何综合问题的解题方法

陆德强

摘 要：初中数学是基础学科之一，也是学生掌握起来比较困难的一门学科。以几何问题为研究对象，结合相关实践经验，探讨如何使学生更加顺利地解决几何综合问题。

关键词：初中数学；几何综合问题；解题方法；对策建议

几何综合题常常和其他数学知识结合起来，比如函数和运用型问题，每种题型解决问题的方法和思路有很大的差别，但是解决这类问题又有相似的地方，都可以有效地体现学生灵活运用数学知识的能力，为了锻炼学生灵活运用数学知识的能力，本文主要结合题型分析解题方法，供大家参考。

一、几何与函数的题型

几何中常常含有动态变化因素，解决问题时学生需要建立相关的函数，结合函数和几何的性质，解决这类问题的大致思路有以下几个方面：（1）学生要先根据题中几何图形，掌握几何体的基本性质，比如等边三角形、特殊四边形、正方形和圆形的基本性质；（2）找到几何题中各种动态元素之间的关系，适时地建立数学函数；（3）找到函数与几何题中的结合点，借助函数关系式再解决几何综合问题。这类问题常常建立几何面积和线段之间的函数关系，通过灵活地掌握面积和线段之间的关系最终顺利地得到正确结果。

例题：OABC是平铺在直角坐标系中的长方形，其中OA的长度为5厘米，OC的长度为4厘米，在OC上取一点D，将长方形沿着AD折叠，使O点落在CB边上交于E点，如果AE上有一个动点P（不和A/E两点重合）自A点朝E点方向匀速移动，速度是1cm/s，假设运动时间为t秒，过P点做平行于DE线交AD于M点，过M点做AE的平行线交DE于N点，问四边形MNEP的面积S最大时t为多少？

该问题是立体几何与数学函数相结合的综合题，解决问题的关键是几何基本性质，问题解决的桥梁是线段长度的坐标形式，

为了建立MNEP四边形的面积与时间的函数形式，即建立S与t的关系，因此，老师首先给予t的几何量的表示，然后利用四边形的几何性质解题。根据题意表示，由于运动速度为1cm/s，所以AP=1×t，所以PE=5-t，此时MNEP四边形的面积还需要表示出PM的值，PM的值运用相似三角形的基本性质，即三角形APM相似于三角形AED，因此PM=■，从而四边形面积表示为■×（5-t），通过对式子进行配方，得到-■（t-2.5）2+■，（0

这一问题就是很好地将几何问题转化为直角坐标系问题，通过解决坐标中几何意义的问题，实质是完成几何计算，在这里不仅使用到了方程转化的思想，还建立了PMNE面積S与时间t之间的函数关系，这是一道综合性很强的题目，解答此类问题需要将数和形进行灵活的转化，将动的状态与静的状态进行分析，并且还用到了图形中的勾股定理、面积计算等图形计算的知识点。

二、解题思路分析

初中数学关于几何的问题涉及的知识面广、跨度大、综合性强，想要清晰地找到解题思路，就必须要求学生具备良好的观察能力、分析能力以及过硬的基本功，只有掌握了所有数学知识的应用技巧和应用时机，在解题过程中保持冷静的心理状态，通过将所学知识灵活应用，把数学思想融入整个解题过程当中去。

首先，要具备数形结合的思想。初中数学几何综合问题突出了数形结合思想，几何图形与函数相互体现，在解决此类问题时，要充分利用数形结合思想，将两者进行灵活的替换，将几何图形的性质和代数意义想清楚，同时在判断几何图形性质和存在性时，要充分注意函数性质确定坐标和坐标的几何意义。其次是分类讨论思想。分类讨论的情况在几何综合问题中常常出现，由于涉及几何点的位置不确定而需要对函数进行分类讨论，通过分类讨论将函数的所有可能性全部包括，从而使解出的答案没有漏洞。最后是化归转化思想。初中数学几何综合问题由于其特殊性和抽象性，往往需要先将抽象的问题具体化，这就需要用到化归转化思想，化归转化思想主要是把需要解决的问题进行相应的转化，或转化为几何问题或是转化为方程问题，将难以理解的问题通过转化变成简单直接的问题，通过问题的转化达到转化方法解决问题的目的，这种思想是正确而全面解决几何综合问题的关键。

参考文献：

[1]张桂芳.小学数学解决问题方法多样化的研究[D].西南大学，2013.

[2]张杰.关于中学数学几何机械化解题教学研究[D].中央民族大学，2011.

[3]易建祥.初中生求解动态几何问题的典型错误及对策研究[D].重庆师范大学，2016.

[4]张文宇.初中生数学学习选择能力研究[D].山东师范大学，2011.

[5]张洁.初中数学综合题教学研究[D].西北师范大学，2007.