基于时序建模的光纤电流互感器随机噪声卡尔曼滤波方法

李波， 林聪， 刘清蝉， 朱全聪， 魏广进

(1.云南电网有限责任公司电力科研究院，云南 昆明 650217；2.中国南方电网公司 电能计量重点实验室，云南 昆明 650217；3.东南大学 仪器科学与工程学院，江苏 南京 210096)

基于时序建模的光纤电流互感器随机噪声卡尔曼滤波方法

李波1,2， 林聪1,2， 刘清蝉1,2， 朱全聪1,2， 魏广进3

(1.云南电网有限责任公司电力科研究院，云南 昆明 650217；2.中国南方电网公司 电能计量重点实验室，云南 昆明 650217；3.东南大学 仪器科学与工程学院，江苏 南京 210096)

针对光纤电流互感器(FOCT)随机噪声特性及其对继电保护、电能计量等间隔层设备的影响，建立FOCT随机误差的时序模型，并采用滤波方法有效提高了FOCT测量精确度。首先，预处理和统计检验FOCT原始数据，获取数据随机特征；根据赤池信息准则(AIC)准则选择时间序列模型的阶次，求出模型系数建立FOCT随机误差的ARMA(2,1)模型，并检验其适用性；采用卡尔曼滤波方法对FOCT输出数据进行滤波处理。总方差分析结果表明：建立的FOCT时序模型经卡尔曼滤波后，随机噪声幅值明显减小，方差值降低了两个数量级，各项随机噪声的误差系数均下降一个数量级，采用的时序建模和卡尔曼滤波方法能有效减小FOCT的随机噪声，提高电流信息的测量精确度。

随机噪声; 测量精确度; AIC准则; ARMA模型;卡尔曼滤波

0 引 言

光纤电流互感器(fiber optical current transducer，FOCT)作为一种新型的电流测量装置，较传统的电流互感器，具有测量精确度高、动态范围大、频响范围宽、绝缘性能优的一系列优点[1-2]。FOCT面临的随机噪声问题成为限制其在电力工程中大量应用的主要因素之一，其测量精确度对电力系统具有至关重要的作用[3-4]。为了提高FOCT测量精确度，对其输出随机噪声进行在线建模，选择适当的滤波方法对噪声进行减小甚至消除。文献[5-6]提供了一种基于温度补偿的方法对FOCT随机噪声进行减小的方法。现有的时序建模方法通常直接分析不符合时间序列平稳性的FOCT输出数据，忽略了输出序列的预处理和统计检验分析工作，即对输出序列进行独立、平稳、正态、零均值以及趋势项处理工作和输出序列的非平稳性、非随机和非正态等特性检验，直接建立的模型误差较大。

本文针对FOCT输出数据的随机噪声问题，从FOCT输出数据预处理和统计检验入手，通过赤池(AIC)准则选择阶次建立最佳模型，经最小二乘法求解模型参数，通过模型残差的自相关函数图和偏自相关函数图检验模型的适用性，建立系统相应的状态方程和输出方程，采用卡尔曼滤波算法对FOCT随机噪声实时滤波，利用总方差法分析滤波前后FOCT数据的各项随机误差。

1 时间序列建模方法

1.1 时序模型的描述

FOCT输出数据是有序的随机信号，无法采用基于输入输出的传统建模方式对其进行建模，可采用时序分析的方法对其处理，即根据统计理论利用系统的输出信号建立反映系统运行状态的参数模型，建立FOCT的时间序列模型[7-8]。

时间序列模型常用于拟合平稳、正态序列，在某种近似程度上，通过相应准则选择适当阶数的ARMA(p,q)能用于描述任何广义平稳随机过程。设{xk}(k=1,...,n){xk}(k=1,2,…,n)是一个平稳、正态、零均值时间序列，则ARMA(p,q)模型可表示为

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+...+φpxk-p+

ak-θ1ak-1-…-θqxk-q。

(1)

其中：n为数据序列的个数，xk为时间序列，φp为自回归系数，θa为滑动平均系数，ak为残差，p、q为ARMA(p,q)模型的阶次。式(1) 表示的是时间序列{xk}在第k时刻的取值，xk可以用该时序在过去n个时期的值xk-1,xk-2,…,xk-p进行估计，其误差为

e=ak-θ1ak-1-…-θqak-q。

(2)

1.2 时序建模预处理

建立ARMA模型的前提是原始FOCT信号满足平稳性、正态性和零均值的要求，对于录入的FOCT输出数据通常并不具备这些条件，需要对样本数据进行预处理操作和相应特性的检验。

1)均值滤波。

对于录入的实际数据选取若干个FOCT数据的均值构成新的数据序列，处理速度较快，算法简单，能够有效减弱FOCT随机噪声。

2)平稳性检验。

通常采用逆序检验法来检验FOCT数据序列的平稳性情况，如果不满足平稳性要求，则对FOCT随机序列进行趋势项提取。逆序检验法[9]定义如下：将{xn}分成l个子序列{xj,n}，j∈(0,1,2,...,l)，求出各子序列的均值μl后，均值构成一个序列μ1μ2μ3…μl。当i>j时，每出现一次μi>μj，定义为μj的一个逆序，同时定义μj的逆序，Aj为μi>μj出现的次数，则序列的逆序总数为

(3)

逆序总数的理论平均值为

(4)

逆序总数的理论方差为

(5)

构造统计量为

(6)

当显著水平为0.05时，如果|u|≤1.96，则可确定μj间无显著性差异，可确定{xn}是平稳序列。

3)趋势项提取。

差分处理的方法可用于提取趋势项，通常不满足平稳性要求的随机序列经一次差分处理后大多能满足平稳性要求，处理后再检验平稳性，若不满足平稳性要求进行二次差分处理。数据序列经差分处理后得到新序列，减去新序列的均值进行均值处理，完成趋势项提取。

4)正态性检验

对于平稳观测的FOCT数据序列进行正态性检验，检验其标准偏度系数ξ和标准峰度系数ν，以下四个参数表示其总体概率密度。

均值为

(7)

方差为

(8)

标准偏度系数为

(9)

标准峰度系数为

(10)

当ξ≈0，ν≈0，随机序列满足正态性要求。

1.3 在线时序建模

FOCT数据时序建模的预处理和统计检验后，需要对模型进行定阶，模型参数计算，得到的可用模型仍需进行模型适用性检验，通过检验模型残差是否为白噪声，对通过检验后的适用模型建立系统状态方程和输出方程，采用卡尔曼滤波方法对FOCT数据进行处理。

1)阶次选择。

经过预处理和检验的FOCT随机噪声序列已经是零均值、平稳、正态的时间序列，满足建模要求。赤池信息准则(akaikeinformationcriterion,AIC)是判断时间序列模型阶次的常用方法，其定阶准则的定义如下：

(11)

AIC准则考虑了模型阶次和残差的相互作用，从低到高分别计算不同阶次模型的AIC值，选择AIC值最小的阶次建立时间序列模型。

2)模型检验。

模型定阶并经最小二乘法计算模型参数后，检验模型的适用性，即检验模型残差是否为白噪声，如果模型残差为白噪声，则模型可用；反之，不可用。

2 基于时序模型的卡尔曼滤波方法

根据得到的ARMA模型，可利用卡尔曼滤波方法进一步对中低精确度FOCT的随机噪声进行抑制[10-12]，建立以FOCT随机噪声为白噪声形式的系统状态方程。

状态方程为

(12)

设Wk为ARMA模型的估计误差，则有

Yk=Xk+Wk。

(13)

系统输出为

Zk=Y。

(14)

则输出方程为

Zk=CXk+Wk。

(15)

vk和Wk的通常为均值为0，自相关系数为常数的白噪声，且互不相关。统计特性为：均值E(Wk)=E(vk)=0，自相关函数φvv=Rδkj，φvv=Qδkj，互相关函数φvw(k,j)=0。

根据状态方程和输出方程，采用卡尔曼滤波方法对FOCT数据进行处理，建立的卡尔曼滤波方程如下：

(16)

3 实验与仿真分析

现取某型号 FOCT样机，充分预热之后，录入 FOCT稳定工作状态下的输出的电流数据，测试环境如图1所示，FOCT工作原理如图2所示。

图1 光纤电流互感器测试环境Fig.1 Experimental environment of the current transducer test system

图2 FOCT工作原理图Fig.2 Principle diagram of FOCT

FOCT工作原理如图2所示，测试系统接入工频单相220V电源作升流系统调节电流，产生的一次电流同时作用于高精确度标准电流互感器和FOCT，标准互感器产生二次电压输出到采样频率不低于50kHz的高精确度模拟量采集板卡，模数转换模块在时钟基准提供的同步信号下触发采集标准电流值；一次电流作用于FOCT上，采集实时电流数据，通过光纤传输到合并单元，经整理后的采集量以FT3数据格式传送至光纤收发器，再经FPGA数字量接收装置接收。电流校验仪接收来自标准互感器和FOCT采集到的电流数据，进行后台数据分析与处理，实际测试曲线如图3所示。

均值滤波后的FOCT数据序列首次平稳性检验结果为：|u|=2.54>1.96，不满足平稳性要求；提取趋势项后，如图4所示，|u|=0.5<1.96，满足平稳性要求；正态性检验主要结果为：标准偏度系数ξ=0.003 2≈0，标准峰度系数ν=4.547 7×10-4≈0，新的数据序列满足正态性要求。该组新的数据序列为平稳性、零均值、正态性序列，满足在线建模的前提条件。

图3 原始录入数据与均值滤波数据Fig.3 Raw FOCT data and the data after mean filtering

图4 一阶差分后FOCT随机噪声Fig.4 FOCT stochastic noise after one-order differential process

针对满足时序建模条件的电流序列，由于FOCT随机噪声模型的阶次都较低，一般不超过2～3阶，在模型参数数目小于3 的范围内，遍历计算AIC最小值所对应的模型，各模型AIC值计算如表1所示。

表1 FOCT随机噪声各模型的AIC值Table 1 AIC values of stochastic error model of FOCT

根据最小AIC值的选择ARMA(2,1)模型作为FOCT随机噪声的最佳模型。建立的ARMA(2,1)模型基础为

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+ak-θ1ak-1。

(17)

xk=-0.707 2xk-1-0.132 5xk-2+ak-0.124 2ak-1。

(18)

根据残差的自相关函数和偏自相关函数图可知，如图5所示，二者可看作为白噪声输入，表明此模型有效。

图5 模型残差的自相关函数图和偏自相关函数图Fig.5 ACF and PACF of model residual

根据建立的ARMA(2,1)模型，求得相应的系统状态方程为

Xk=AXk+BVk。

(19)

系统输出方程为

Zk=CXk+Wk。

(20)

利用卡尔曼滤波方法对FOCT数据随机噪声进行去噪处理，滤波前后的曲线如图6所示。对比滤波前后的曲线可以看出，采用ARMA模型建模和卡尔曼滤波后的FOCT随机噪声数据中的噪声幅值明显减小，计算数据滤波前后统计特性，滤波前方差为1.8×10-4，卡尔曼滤波后方差为3.1×10-6，滤波后的随机噪声数据特性有明显提高，方差值下降了两个数量级，说明卡尔曼滤波方法可在保证无偏估计的同时提高FOCT输出数据的分散程度。

图6 光纤电流互感器数据滤波前后对比Fig.6 FOCT data comparison before and after Kalman filtering

采用总方差法[15]分析FOCT数据滤波前后的随机噪声，FOCT输出数据中通常包括五项随机噪声：量化噪声(quantization noise)、电流随机游走噪声(current random walk)、零偏不稳定性噪声(bias instability)、速率随机游走噪声(rate random walk)、速率斜坡噪声(rate ramp)，误差系数分别用S、N、B、K和R表示。鉴于FOCT不同类型的随机噪声误差出现在不同的相关时间域内，不同类型噪声的功率谱密度及相关时间的函数关系均不同，故独立统计各项噪声误差得

(21)

通过总方差法检验FOCT随机噪声数据经过ARMA建模和卡尔曼滤波的滤波效果，表2为对应FOCT卡尔曼滤波前后的误差项系数比较，图7是该FOCT卡尔曼滤波前后的总方差曲线对比。

表2 卡尔曼滤波前后随机误差系数表Table 2 Stochastic error coefficients before and after Kalman filtering

图7 滤波前后总方差分析Fig.7 Total variance analysis before and after Kalman filter

由表2和图7可知，该型号FOCT输出数据随机噪声以量化噪声、速率随机游走、速率斜坡以及零偏不稳定性噪声为主。经过时间序列建模和卡尔曼滤波后，FOCT输出数据中各项随机误差均有所改善，均下降了一个数量级，表明滤波有效去除了信号中的随机噪声成分，相应的FOCT测量精确度得到了提高。

4 结 论

FOCT随机噪声导致的测量精确度误差对智能变电站间隔层设备具有重要的影响。通过建立FOCT数据的时间序列模型和卡尔曼滤波处理，分析结果显示处理后的 FOCT输出数据随机噪声幅值明显减小，方差值下降了两个数量级，总方差法分析得到FOCT的电流随机游走噪声、零偏不稳定性噪声、速率随机游走噪声、速率斜坡噪声和量化噪声等五项随机噪声误差系数均下降一个数量级，采用的处理过程能够有效地抑制FOCT输出信号的随机噪声，滤除信号中无用信号，提高了电流测量精确度。鉴于FOCT频响带宽可以达到10 kHz，卡尔曼滤波处理过程中导致FOCT动态响应精确度降低和时间延迟的负面影响可忽略不计。

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(编辑：贾志超)

Kalman filter offiber optical current transducer′s stochastic noise based on time series model

LI Bo1,2， LIN Cong1,2， LIU Qing-chan1,2, ZHU Quan-cong1,2, WEI Guang-jin3

(1.Electric Power Research Institute of Yunnan Power Grid co.Ltd, Kunming 650217, China;2.Key Laboratory of Electric Power Measurement, China Southern Power Grid, Kunming 650217, China;3.School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096,China)

Due to the effects on the devices like relay protection and power metering, created by stochastic error characteristic of fiber optic current transducer (FOCT), modeling online and filtering real-time can effectively improve measurement accuracy.At first, pretreating and inspecting statistically the FOCT data is essential to characterize the stochastic error of FOCT.Then, set order for the time series model by Akaike information criterion (AIC) rule and acquire model coefficients to establish ARMA(2,1) model.Next, test the applicability of the established model.Finally, Kalman filter is adopted to process the FOCT data.Simulation results of total variance demonstrate that stochastic error is obviously decreased after Kalman filtering based on ARMA(2,1) model.Besides, variance is reduced by two orders, and every coefficient of stochastic error is reduced by one order.The filter method based on time series model does reduce stochastic noise of FOCT, and increase measurement accuracy.

stochastic noise; measurement accuracy; AIC rule; ARMA model; Kalman filter

2016-04-18

南方电网科技项目(YNKJ0000124)；云南电网科技项目(HLZB20150738)

李 波(1982—)，男，硕士，高级工程师，研究方向为电气测量、智能电网测控； 林 聪(1986—)，男，硕士，工程师，研究方向为电力计量、智能电网测控； 刘清蝉(1983—)，男，硕士，工程师，研究方向为电能计量、计量自动化； 朱全聪(1987—)，男，硕士，工程师，研究方向为智能变电站信息采集、电能计量测试； 魏广进(1991—)，男，硕士研究生，研究方向为光纤传感器、仪器仪表测试。

李 波

10.15938/j.emc.2017.04.012

TM 452+.94

A

1007-449X(2017)04-0083-06