一道高考数学题的解法探究与启示

摘 要：近几年新课程高考全国试题突出了对考生能力的考查，具有很强的示范作用.本文通过2015年全国新课标卷（Ⅰ）第16题的多种解法，探究解题规律，选择最优解法，提高思维的灵活性和发散性.

关键词：高考；探究；启示

作者简介：李瑞杰（1965-），男，大学本科，中学高级教师，安徽省特级教师，主要从事高中数学教学研究.

一、试题呈现

在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2， 则AB的取值范围是.

二、试题分析

本题是2015年全国新课标卷理（Ⅰ）第16题，主要考查解三角形.内容简洁，图形熟悉，看似平凡，下笔却困难重重.命题意图是考查考生的数形结合，化归与转化的数学思想及思维的发散性和灵活性.

三、解法探究

分析 如图，这是一个平面四边形，已知四个角的度数和一边长，求其中一边AB的范围.在平时训练中，遇到此类题型不是太多，考生做起来比较棘手.若能联想到三角形，通过解三角形的知识求解.是否简单些呢？

解法1 如图1，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，设AD=x2，

x2sin30°=AEsin45°，AE=22x，同理DE=6+24x，CD=m.

因为BC=2，所以6+24x+msin15°=1，则6+24x+m=6+2，因为m>0，

0≤6+24x<6+2，0

可得AB的取值范围为（6-2，6+2）.

点评1 解法1在设出CD=m，AD=x2后，用x，m来表示AB，再根据m，x范围，解出AB的范围.

解法2 如图2 ，延长BA、CD交于E，则△EBC是等腰三角形.∠EBC=∠ECB=75°，∠BEC=30°，过点C作CF交BE于F，使∠BCF=30°，则∠BFC=75°，在△BCF中，由余弦定理得

BF=BC2+CF2-2BC·CF·cos30°=6-2，在△BCE中，同理可得BE=6+2，所以AB的取值范围是（6-2，6+2）.

点评2 解法2妙在作出的CF∥DA，这样A只能在E和F之间运动，所以只要求BF和BE的长度即可.

解法3 如图3，在平行四边形ABCD中，联结AC.

设∠BAC=θ，则∠BAC=105°-θ，∠CAD=75°-θ，∠ACD=θ-30°.

由题意可得θ>0°，105°-θ>0°，75°-θ>0°，θ-30°>0°， 因此30°<θ<75°.

在△ABC中，θ越小AB越大，θ越大AB越小.

当θ趋向于30°时，ABsin（105°-30°）=BCsin30°，解得AB=6+2.

当θ趋向于75°时，ABsin（105°-75°）=BCsin75°，解得AB=6-2.

所以AB的取值范围是（6-2，6+2）.

点评3 关键连结AC，得出∠BAC=θ后，根据各个角都是正角，求θ的范围，再观察图形，在BC长一定前提下，通过角θ变化与线段AB的关系，判断AB的范围.三种解法都是把四边形问题转化为熟悉的三角形问题，根据正余弦定理找出数量关系，通过科学运算和合理推理化难为易，使问题得到解决.

四、对高考复习的启示

本题得分较低，主要是因为考生思维的灵活性和发散性欠缺，一是不能很快地把四边形问题转化为三角形问题；二是不能活用正余弦定理表示出AB；三是运算和逻辑推理能力不足.

目前高三正在进行总复习.如何提高复习效率？

1. 回归课本，重视挖掘教材的本质和内涵

挖掘教材的本质和内涵，深化对基本概念、性質、定理和公式的理解和掌握.重视教材中知识的产生过程，典型例题、习题变形，品味课堂上老师分析例题的思想方法，注意老师解决问题的“切入点，突破口”.

2. 重视专题复习，提高解题能力

第二轮复习主要是巩固、完善、综合、提高.巩固是指巩固第一轮复习成果，强化知识的补充记忆；完善是指查漏补缺，完善知识体系，注重思想方法；综合是指减少单一知识训练，增加题目的综合性和灵活性；提高是指提高分析问题、解决问题的能力.

3.重视培养学生思维的灵活性和发散性

对近几年的高考数学试题，教师进行深入全面的探究.选择一些高考中的常考题型，热点题型，精练精讲.特别是一题多变，一题多解，帮助学生寻找不同切入点.丰富多彩的题型和解法，既给学生带来惊喜，又给学生带来美妙的感觉，不仅打开了学生的思维，更能擦出智慧的火花，提高复习效率.解题后要认真反思题型特征，解法规律，解题突破口，如何选择最优解法，提高思维的灵活性和发散性.

4.重视运算能力的培养

高考对运算能力的要求较高.教师在教学过程中要启发学生如何选择合理运算途径，减少运算步骤，注意运算技巧.要让学生对不同的运算过程进行比较，总结运算规律.平时留一定时间让学生敢算，耐心算，算出答案，逐步做到“算一道题，对一道题”.学生多次体会到运算成功的乐趣后，必然会提高学习数学的信心和效率.