高中数学导数思想研究不等式问题

2017-05-31 08:21焦占红
理科考试研究·高中 2017年3期
关键词:单调性不等式导数

焦占红

摘 要:不等式的计算与证明是高中教学的难点和重点,并且是高考的热点.笔者所在地区使用高考全国一卷,不等式多与函数、数列、解析几何、向量、三角函数相结合,难度为中等偏上.研究不等式,既要遵循证明不等式的基本思想和方法,又要结合自身的性质和结构特征.用导数单调性的方法会大大降低运算量,提高解题的成功率,同时立足课本,体现了对基础知识和重点知识的使用及掌握.

关键词:导数;函数;不等式;单调性

不等式因其形式多样长期成为高考的热点,研究不等式,既要遵循证明不等式的基本思想和方法,又要结合自身的性质和结构特征.本文借助导数进行学习探究:一、习题引申

证明不等式 (人教A版数学选修2-2第一章导数应用第32页习题1.3 B组1题):ex>1×x,x≠0,由此习题可得下面结论:

结论1 若x>-1则1n(1+x)≤x,当且仅当x=0等号成立.

结论2 若x>0 则1nx≤x-1,当且仅当x=1等号成立.

结论3 若x>-1则1n(1+x)≥xx+1,当且仅当x=0等号成立.

这些源于重要极限limx→∞(1+1x)x=e及另一种极限形式lima→0(1+α)1a=e,这是大学高等数学课程的入门内容,也是与高中数学联系较为紧密的部分.每年各省都侧重本知识,体现了数学的连续性,及高校选拨人才的特点.

当然,我们选用其他方法也能解决,但是会加大运算量及思维量,而用导数单调性的方法会大大降低运算量,提高解题的成功率,同时立足课本,体现了对基础知识和重点知识的使用及掌握.

学生在解决此类问题时,往往由于构造函数不合适或分式处理不当而造成无法完成.

二、例题分析

例1 设函数f(x)=1-e-x.

(Ⅰ)证明:当x>-1时,f(x)≥xx+1;

(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤xax+1,求a的取值范围.

分析 本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.

解 (Ⅰ)当x>-1时,f(x)≥xx+1当且仅当ex≥1+x.

令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.

当x≥0时g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数;

当x≤0时g′(x)≤0,g(x)在(-∞,0]是减函数.

于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0),即ex≥1+x,所以当x>-1时,f(x)≥xx+1.

本题学生易犯错误是,对分式没有分离常数,而直接做差求导数,带来困难,忽略e-x的通分.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知x>0时,f(x)>0,得a≥0,当x=0时,对于一切的a都成立.

故考虑x>0的情况:

(1)原问题分离变量为a≤x+e-x-1x(1-e-x)对于x>0恒成立,

则首先满足a≤limx→0x+e-x-1x(1-e-x)=12,故这里就得到a的必要条件为0≤a≤12.

此处用到了洛必达法则,在处理分式函数00,∞∞的恒成立问题时,洛必达法则能避开分类讨论,让学生感到数学没有那么难.

(2)下面证明a≤12是充分条件.当a=12时,

整理为g(x)=x2ex-ex+x2+1≥0,

∵g′(x)=x2ex-ex2+12,g″(x)=x2ex>0,

∴g′(x)单调递增,则g′(x)>g′(0)=0,

故g(x)单增递增,则g(x)>g(0)=0

则12≤x+e-x-1x·(1-e-x)成立,那么当a≤12时,该不等式也成立.

综上:a的取值范围是[0,12]

点评 作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.

例2 把函数y=1nx-2的图象按向量a(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象,

(1)若x>0,证明f(x)>2xx+2,

(2)若不等式12x2≤f(x2)+m2-2bm-3 对b∈[-1,1],x∈[-1,1] 时恒成立,求实数m 的取值范围.

解 f(x)=1n(x+1)-2+2=1n(x+1).

(1)即证1n(x+1)-2xx+2>0在x>0时成立,令g(x)=1n(x+1)-2xx+2,因为g′(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2,所以函数g(x)在(0,+∞)递增,故g(x)>g(0)=0.即g(x)>0.所以1n(x+1)>2xx+2.

移项做差,构造函数,利用新函数的单调递增,所以每点处的函数值都大于区间左端值.

(2)原不等式为-2mb+1n(x2+1)-12x2+m2-3≥0关于b的一次不等式在b∈[-1,1]恒成立,所以两端点值要非负,

即-2m+1n(x2+1)-12x2+m2-3≥02m+1n(x2+1)-12x2+m2-3≥0,

要在x∈[-1,1]恒成立,又变成两个关于x的不等式恒成立,

即1n(x2+1)-12x2≥-m2+2m+31n(x2+1)-12x2≥-m2-2m+3在x∈[-1,1]恒成立,

即g(x)=1n(x2+1)-12x2在x∈[-1,1]的最小值要同時大于等于-m2+2m+3与-m2-2m+3,现在求g(x)的最小值.g′(x)=2xx2+1-x,可得g(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故g(x)的最小值为g(0)=0,那么

-m2+2m+3≤0-m2-2m+3≤0m∈(-∞,3]∪[3,+∞)

点评 两次恒成立,告诉谁的范围那么谁就是变量,另外的全是参数.本题学生习惯于将x当做自变量,对数與二次函数的混合将造成巨大的计算,甚至无法算出结果,而巧妙的运用变更主元法可将二次变为一次函数的处理,从而降低难度,迎刃而解.

例3 设函数f(x)=x4+ax3+b(x∈R),其中a,b∈R.若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范围.

解 f ′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4)由条件a∈[-2,2]可知

Δ=9a2-64<0,从而4x2+3ax+4>0恒成立.当x<0时,f ′(x)<0;当x>0时,f ′(x)>0.

因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.

为使对任意a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,当且仅当f(x)max≤1,

即f(1)≤1f(-1)≤1,即b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2,2]上恒成立.即b≤(-2-a)minb≤(-2+a)min,a∈[-2,2].所以b≤-4.

因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4].

点评 f(x)≤1,即f(x)max≤1,a∈[-2,2],x∈[-1,1],要解决此题关键是求f(x)max.部分学生在处理f ′(x)=4x3+3ax2+4x,感到束手无策,属于多项式因式分解掌握不好,没有提公因式的意识和解题经验.此题为多项式函数,通过单调性,判断最值,b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2,2]上恒成立.

反思 重点考察高中知识与大学知识的衔接,考察数学的重要极限,变更主元,突出数学的简单化思想,让学生掌握分类讨论,感受抽象.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]人民教育出版社.普通高中课程实验教科书数学2-2A版[M].北京:人民教育出版社,2004.

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