基于节点应变能灵敏度的拱轴线形状优化

沙晓庆 张海迪 侯洪飞

(河北建筑工程学院，河北 张家口 075000)



基于节点应变能灵敏度的拱轴线形状优化

沙晓庆 张海迪 侯洪飞

(河北建筑工程学院，河北 张家口 075000)

结合两个算例，研究了基于节点应变能灵敏度拱轴线选择的方法，指出根据节点应变能灵敏度进行结构形状优化，降低了结构应变能，改善了结构的综合性能，达到了更加合理的结构形态。

拱轴线，应变能灵敏度，优化方法，数学模型

0 引言

拱式结构主要承受轴向作用，轴向作用为最佳的传力方式，应用拱式结构可提高材料的利用率。拱圈的形状影响结构的内力组合状态和变形，若拱轴线与外荷载作用下压力线重合，为合理拱轴线，即拱截面只有轴向作用而没有弯曲作用。在合理拱轴线的状态下材料利用率最高，因此对拱轴线的研究具有一定的意义[1]。

本文基于节点应变能灵敏度调整节点位置对拱圈进行形状优化，将数学和力学的基本理论结合寻求结构的合理状态[2]。这种方法最显著的特点之一就是以结构应变能作为目标函数，应变能作为目标函数可综合涉及到应力、应变、位移等方面的问题，充分反映结构的受力状态，优化过程中也是全面的考虑到结构受力性能，是一种单目标多性能的体现。

1 优化数学模型

将节点高度作为设计变量，结构储存应变能最小作为目标函数，以结构允许变化空间作为约束条件的数学模型为：

求：y={y1,y2,y3,…，yn}。

式中：y——节点竖向坐标； n——结构中节点数目； C——结构整体应变能； UP——在外荷载作用下结构节点位移列向量； [K]——结构整体刚度矩阵； P——结构施加的外荷载； S——拱轴线形状； Ω——允许变化空间。

2 优化方法

拱式结构的节点应变能灵敏度反映在高度方向上节点移动对结构应变能的影响程度，据此调整节点位置以降低结构总体应变能，提高整体刚度。本文介绍方法主要针对于平面梁单元组成的拱式结构。

2.1 节点应变能灵敏度[3]

荷载作用下结构产生变形，结构内部储存应变能，利用荷载和位移列向量求结构应变能公式为：

上式两边关于节点高度yi的微分形式为：

由上式可知应变能关于节点高度的微分中只有单元刚度矩阵与节点坐标存在微分关系，某一节点坐标只与其相邻几个单元刚度矩阵存在函数关系，因此节点应变能灵敏度为相邻单元应变能关于节点坐标微分的代数和，即：

2.2 节点高度调整[3]

对于拱式结构这种类似的平面结构，只需对节点高度方向位置进行调整，将节点铅直坐标y作为影响结构应变能的唯一因素，将应变能C写成关于节点高度y的函数C(y)，将C(y)在节点高度y附近用泰勒公式展开：

假定节点铅直坐标y每次的该变量足够小，Δyi的高阶项对应变能的值影响非常小，可略去，选取一个参数Δ作为优化步长，故各节点高度在每个迭代步的调整值为：

将去掉Δyi高阶项的泰勒展开公式写为：

计算过程中节点应变能灵敏度可为正值、负值或者零，当值为零时说明结构应变能对节点坐标的改变不敏感，当为正值时节点应向下移动，为负值时节点向上移动，只要选取合适的优化步长Δ，结构应变能会一直呈下降的趋势，优化步长过大会影响计算结构的准确性，过小会有计算效率，优化步长Δ选择需逐步验算得出[4]。

3 优化步骤

1)根据设定的边界条件，材料属性，建立初始模型并加载求解，整个优化过程中假定节点荷载不随节点位置的改变而改变；

2)计算各个节点的应变能灵敏度；

3)根据应变能灵敏度调整节点高度；

4)重复迭代2)，3)，直至达到指定的收敛准则。

两相邻迭代步结构应变能的差值足够小时即停止运算。

4 算例分析

4.1 算例1

如图1所示初始模型平面梁单元组成的模型跨度为40 m，矢高为10 m，梁材料的弹性模量为30 GPa，杆件截面尺寸0.062 5 m2，惯性矩Iz=3.26×10-4m4，中间节点的竖向荷载Fy=-10 kN。两端支座为固定铰支。

图1a)为模型初始形状，图1b)为优化后模型形状，在节点竖向荷载作用下，经过优化迭代得到优化后模型的形状，在优化前期模型中间部分的节点高度略有下降，靠近支座的两端部分节点有所上升，在后期除支座外的节点都会呈现上升趋势，优化前后节点位置见图2。

表1对模型优化前后的应变能、最大轴向应力、平均轴向应力、最大弯曲应力、平均弯曲应力、最大等效应力进行对比。模型应变能有着明显的降低，应变能变化过程见图3，优化前期应变能下降速度迅速，经过20个迭代步后应变能变化曲线趋于平缓；最大轴向应力和平均轴向应力经过优化其值会减小，降低的幅度很小；最大弯曲应力和平均弯曲应力的降低较为显著，单元的最大等效应力同样有明显下降趋势。初始形状模型在荷载作用下以弯曲为主导作用，优化后模型主要承受轴向作用，轴向应力对模型应变能的影响较小，其值变化范围也较小，所以轴向作用对模型应变能的降低贡献率较小。初始形态轴向作用产生的应变能为44.39 J，优化后为39.37 J，逼近模型整体应变能，因此模型应变能的降低幅度就取决于弯曲作用的减小范围，整个优化过程重点是在降低模型的弯曲作用，一直优化下去模型将无限接近于合理拱轴线的形态。

表1 结构优化前后静力性能比较

迭代步应变能/J最大轴向应力/MPa平均轴向应力/MPa最大弯曲应力/MPa平均弯曲应力/MPa最大等效应力/MPa11051.161.110.9611.897.5412.720039.771.050.890.020.011.06

4.2 算例2

如图4所示平面梁单元组成的模型跨度为20 m，矢高为4 m，梁材料的弹性模量为30 GPa，杆件截面尺寸为变截面，中间节点的

竖向荷载Fy=-5 kN。两端支座为固定铰支，图4中编号为单元号。

表2 单元截面尺寸

m2

表2为各个梁单元的截面面积。经过优化拱圈的矢高为5.28 m，结构的应变能由345.92 J下降为18.99 J；结构平均轴向应力由2.49 MPa下降为1.92 MPa；平均弯曲应力由13.32 MPa下降为0.02 MPa。在本算例中下降最为显著的依然是弯曲作用，图5为优化前后结构弯矩云图。

5 结语

基于节点应变能灵敏度的拱轴线形状优化，拱轴线形状的改变可使拱结构应变能显著下降，应变能是一个综合的物理量，它的降低反映结构综合性能得到改善。拱式结构形状优化旨在极大的降低弯曲作用，使结构产生的弯曲应变能最小化，杆件主要承受轴向这种传力最高效的作用形式。在进行结构设计时允许的空间范围内改变结构形状抵抗外荷载作用，可提高材料利用率。

[1] 张淑云.基于形状优化设计的拱轴线选择[J].西安矿业学院学报,1998(A9):36-40.

[2] 崔昌禹,姜宝石,崔国勇.结构形态创构方法的工程应用[J].建筑钢结构进展,2011,13(6):9-18.

[3] 崔昌禹,严 慧.自由曲面结构形态创构方法——高度调整法的建立与其在工程设计中的应用[J].土木工程学报,2006,39(12):1-6.

[4] 王有宝.自由曲面单层网壳结构形态创构方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学,2012.

Shape optimization of arch axis based on strain energy sensitivity

Sha Xiaoqing Zhang Haidi Hou Hongfei

(HebeiInstituteofArchitectureandCivilEngineering,Zhangjiakou075000,China)

Through two examples, the method of selecting the arch axis based on the strain energy sensitivity is studied. According to the strain energy sensitivity, the structural shape optimization can reduce the strain energy of the structure, improve the comprehensive performance of the structure, achieve a more reasonable structure.

arch axis, strain energy sensitivity, optimization method, mathematic model

2016-11-28

沙晓庆(1990- )，男，在读硕士； 张海迪(1991- )，女，在读硕士； 侯洪飞(1992- )，男，在读硕士

1009-6825(2017)04-0050-02

TU311

A