解析德罗斯特效应

文/詹家鳍语，中央民族大学理学院

解析德罗斯特效应

文/詹家鳍语，中央民族大学理学院

本文摘要：本文对德罗斯特效应进行了简要分析，结合图片，带领读者领略数学之美。

共形映射；支割线；黎曼面；Mathematica

以图1为例从几何上做一个直观的表述。原图是一个黑边灰底方形，内含一个从左下指向右上的深灰色箭头，从中截去一块（虚线围住的区域），该区域中的内容之后再不会出现。对这块区域是有要求的：它的边长比例要与原图相同。称截取后余下的区域为D。

（左）图1；（中）图2-1：（右）图2-2

设图像中每一点的坐标在复平面上，即坐标对应复数 （l是虚数单位），并有指数形式 ，则如图2-1到图2-2所示的变化如下所述：

（*）D中的复数坐标取自然对数变换.

（**）图像在纵坐标上的范围是，沿y轴正方向平移，紧密排列，然后将图像整体进行旋转，使[1]的右上角与[1]的左下角横坐标相等，再在纵向上进行缩小，使[1]在纵坐标上的范围依旧保持（因为旋转后纵坐标范围是原来的对角线长度，肯定较之前变大了）。变换后图像整体如图2-1，此时图像中每一点对应复数 ，再代入以自然常数为底的指数函数.（注：旋转角度和缩小比例通过一系列初等函数来计算原图参数而得到）

最后得到如图2-2的效果，可以看到一层层的黑色边框切割开并连接在一起，只要顺着边框往中心走就能遇到所有箭头。这种神奇的效果在现实生活中被称为“德罗斯特效应”。

下面在理论上进行解释：

1 为什么变换后一幅图内边界上的端点会和外边界上的端点重合？

首先要清楚坐标的意义：横坐标表示复数的幅长取自然对数（正比于幅长），纵坐标表示复数的主幅角。

变换时要求了“…将图像整体进行旋转，使[1]的右上角与[1]的左下角横坐标相等…”，[1]的右上角对应外边界上一个端点，[1]的左下角对应内边界上一个端点，这样旋转保证了这两点幅长相等；而“…在纵向上进行缩小，使[1]在纵坐标上的范围保持…”，这样既不改变每一点的幅长，又可以保证[1]的最大纵坐标差（即右上角和左下角的纵坐标差）是，也就是这两点的主幅角相等。

综上，每幅图内边界上的一个端点会和外边界上的一个端点有相同的幅长和主幅角，那将其代入以自然常数为底的指数函数后便会重合。并且，它们重合在支割线上。

2 为什么一幅图的内边界可以和较小一级的图的外边界全部无缝衔接？

两条边 “无缝衔接”，只要它们连续地拥有相同的幅长与主幅角。为满足这一点，之前对从原图中截去的区域做了“边长比例与原图相同”的要求，只有这样它们对应顶点的连线（四条）才会相交于同一点，而这一点就作为“奇异点”，即最后画面中心的留白处。令它为坐标原点，可以保证在每一个角度上内外边界两点的幅长比例始终相同，那么经过自然对数后相应两点的横坐标之差始终相等，相当于[1]、[2]、[3]…的左边界与右边界形状完全一致。

“…[1]的右上角与[1]的左下角横坐标相等…”，即[2]的右下角与[1]的左下角横坐标相等，那么[2]的右边与[1]的左边显然也连续地拥有相同的幅长与主幅角。

3 为什么经过变换后，画面仍然非常流畅自然？

因为由始至终都在进行共形映射，保证了在除去中央“奇异点”的余下区域具有保角的性质，能使“旋转角不变”和“伸缩率不变”，所以画面处处流畅自然。

（注：本文制图使用软件mathematica10.2.0）

[1] D.R.HOFSTADTER. Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid[M].Harmondsworth: Penguin, 1979.