时间反演不对称投影后变分方法

图 雅, 何 艳, 高早春, 陈永寿, 田永威

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034; 2. 中国原子能科学研究院, 北京 102413)



时间反演不对称投影后变分方法

图 雅1, 何 艳1, 高早春2, 陈永寿2, 田永威1

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034; 2. 中国原子能科学研究院, 北京 102413)

在HF(Hartree-Fock)平均场的基础上,建立了新的投影后变分方法(Variation after projection即VAP方法)。由于算法中考虑了HF平均场的时间反演对称性破缺,使得新的VAP方法能够很自然地推广到偶偶核的奇自旋态,以及奇奇核和奇-A核的所有晕态计算中。采用这种新的VAP方法,初步计算了sd-壳原子核24Mg,25Mg,26Mg和26Al的晕带,并将其与壳模型(Shell Model,SM)给出的准确值进行比较,结果发现二者非常接近。这表明VAP方法是一种非常有效的壳模型近似方法。同时,根据计算结果,分析认为角动量投影在获得良好的壳模型近似中起到了关键的作用。

超越平均场; 投影后变分; 原子核结构

0 引 言

在原子核理论中,原则上,量子多体体系的波函数可以通过求解薛定谔方程而获得。传统壳模型[1]就是基于这种思想,但其在对重核的计算中遇到了很大困难。对于重核,其组态空间异常巨大,即使当今最快的超级计算机也难以实现重核的壳模型计算,这直接阻碍了人们对于重核结构性质的深入研究。为了回避这一困难,人们引入比较简单的平均场近似方法[2],以揭示原子核的粗块性质。其中比较成功且应用广泛的平均场方法有HF (Hartree-Fock)[3]和HFB(Hartree-Fock-Bogoliubov)[3]方法。但是平均场方法破坏了体系的对称性,同时很多物理效应被忽略,因此无法给出好的波函数。发展超越平均场方法,不仅可以大大改善平均场波函数,而且为重核的壳模型近似计算提供了一条非常有效的途径。

超越平均场方法[4-7]已经成为研究量子多体体系的一类重要理论方法。其基本思想是,通过投影方法将平均场的对称性进行恢复,得到的波函数具有好的量子数,进而能够更好地描述量子多体体系的结构性质。为了尽可能好地优化波函数,理想的办法是将投影波函数进行变分,即投影后变分(Variation After Projection,VAP)。到目前为止,在核理论中,VAMPIR[8-10]是比较成功的一种VAP方法。在VAMPIR计算中,同时考虑了粒子数投影和角动量投影,因此这需要很大的计算量。为了减少计算量,在通常的VAMPIR计算中,采用的平均场具有时间反演对称性和轴对称性。

在前人工作的基础上,我们发展了自己的VAP[11]方法。在文献[12]中,首次在VAP方法中引入三轴形变,并且首次实现了角动量(J),同位旋(T),以及质量数(A)的同时投影。计算结果表明,角动量投影是获得很好壳模型近似的关键,同时也引起了三轴形变的普遍出现。在该工作中,仍然保留了时间反演对称性。这就使得VAP的计算仅限于偶偶核的偶自旋态。为了将VAP的计算推广到偶偶核的奇自旋态,奇-A 核和奇奇核,必须破坏平均场的时间反演称性。

目前,在VAP中进一步考虑时间反演对称性破缺。同时为简化计算,将HFB平均场变为HF平均场。因为HF平均场中粒子数是确定的,因此不必进行粒子数投影。这不仅大大地优化了计算,同时也能更清楚的揭示纯粹角动量投影带来的新现象。采用新的VAP方法,计算了sd-壳一些核的晕态能量。通过比较发现,VAP能量值与壳模型给出的准确值十分接近。

1 VAP理论框架

(1)

式中:N是归一化常数;而d是一个反对称矩阵,其矩阵元dμν是决定|Φ〉的变分参量。可以通过改变dμν矩阵元来改变波函数|Φ〉。在这里设定dμν是复数,形式如下(其中,xμν和 yμν均是实数。)

(2)

(3)

(4)

为简单起见,记

(5)

(6)

其相对应的投影能量EJ则可以展开为如下的形式

(7)

事实上,投影能量EJ及其相关的系数fk,可以通过求解Hill-Wheeler(HW)[13]方程同时获得,

(8)

同时在这里,fk满足归一化条件〈ΨJ,M|ΨJ,M〉=1,

(9)

由于dμν是复数,我们要对实部xμν和虚部yμν分别求一阶偏导。对于实部xμν,EJ的一阶偏导数为

(10)

(11)

对于虚部yμν处理方法与上式相同,只需将xμν换成yμν。

(12)

求二阶偏导数的优点在于:

1) 加快迭代的速度,提高计算效率。

2 计算结果与讨论

在VAP计算中,采用的是USDB相互作用[14-15]。特别值得注意的是,在这里只用了一个HFSlater行列式进行计算,并且在此基础上只做了角动量(J)投影。这样不仅能够优化算法,减少计算量,大大提高了计算的效率。而且,还能够充分地表明,角动量投影是VAP近似方法取得成功的关键。换言之,角动量投影是获得良好的壳模型近似的关键。

图1 初期VAP计算结果与SM结果对比

图2 后期VAP计算结果与SM结果对比

3 结 语

[ 1 ]CAURIER E,MARTINEZ P G,NOWACKI F,et al. The shell model as a unified view of nuclear structure[J]. Rev Mod Phys, 2005,77(2):427-431.

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[ 3 ]RING P,SCHUCK P. The Nuclear Many-Body Problem[M]. New York,Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1980:189-197,244-248,615-618.

[ 4 ]ROBLEDO L M,BERTSCH G F. Pairing in finite systeme: Beyond the HFB theory[J]. Fifty Years of Nuclear BCS: Pairing in Finite Systems, 2013:89-99.

[ 5 ]HAIDER Q,GOGNY D. Microscopic approach to the generator coordinate method with pairing correlations and density-dependent forces[J]. Phys G: Nucl Part Phys, 1992,18(6):993-1022.

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[13]HILL D L,WHEELER J A. Nuclear Constitution and the Interpretation of Fission Phenomena[J]. Phys Rev, 1953,89(5):1102-1145.

[14]BROWN B A,RICHTER W A. New “USD” Hamiltonians for the sd shell[J]. Phys Rev C, 2006,74(3):34315-34315.

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The VAP calculations with time-odd Hartree-Fock mean field in nuclear many body theory

TU Ya1, HE Yan1, GAO Zaochun2, CHEN Yongshou2, TIAN Yongwei1

(1. College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. China Institute of Atomic Energy, Beijing 102413, China)

We have implemented a new variation after projection (VAP) calculation based on the Hartree-Fock (HF) mean field. Due to the time reversal symmetry breaking of the mean field,the present VAP can be naturally extended to the yrast states in odd-A and odd-odd nuclei as well as the yrast states in the even-even nuclei. With the new VAP code,we calculated the yrast states in24Mg,25Mg,26Mg and26Al. All the calculated VAP energies are very close to the Shell Model(SM) ones. This clearly shows that the spin projection is very important in achieving a good approximation to the full shell model.

Beyond mean field method; Variation after projection; Nuclei structure

1673-5862(2017)02-0156-05

2016-03-07。

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(11305108); 国家自然科学基金理论物理专款项目(11047171)。

图 雅(1979-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授,博士。

O571.21

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.02.006