一类具有负系数的广义单叶函数

何 涛，周海燕，李玉毛

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

数理科学

一类具有负系数的广义单叶函数

何 涛，周海燕，李玉毛

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文引进了一类具有负系数的广义单叶函数，并研究了其系数不等式、偏差、覆盖、闭包定理和极值点.所得结果推广了文[1]中的主要结果.

负系数；广义叶函数；系数不等式；偏差；覆盖；闭包定理；极值点

1 引言

用S(a,k)表示在单位圆盘△={z:|z|＜1}内解析函数且单叶函数

全体组成的类.令T(a,.k)表示S(a,k)中的负系数单叶函数子类：

当a=1,k=2时S(1,2)=S和T(1,2)=T为邓琴在文[1]中研究的函数类3.

本文中，作者研究属于T(a,k)类函数的一些属性，得到类中函数的系数，偏差，覆盖，闭包定理和极值点等性质，并推广邓琴在文[1]中的主要结果.

2 主要结果及其证明

证明（必要性） 设f(z)∈T(a,k),下面要证明不等式(2).

由于f'(z)是连续的，并且f'(0)=a＞0，由连续函数介值定理可知，存在r1，0＜r1＜r0，f'(r1)=0，这是矛盾的，因此不等式(2)成立.

（充分性） 由于

所以，对于z1,z2∈△且z1≠z2，我们有

因此，f(z)在△内是单叶函数，即f(z)∈T(a,k).

定理2 设k∈N,k≥2,a＞0，如果f∈T(a,k)则极值函数为

利用定理1，得到

和

定理3 设k∈N,k≥2,a＞0，如果f∈T(a,k)，则a-r≤|f'(z)|≤a+r(|z|=r)极值函数为

证明 利用定理1，我们得到

和

定理4 设k∈N,k≥2,a＞0，如果函数

证明 按照f(z)的定义，可得到

从而

因此h(z)∈T(a,k).

定理5 设

其中λn＞0和

证明（充分性） 假设

因此，由理论1可知f∈T(a,k).

（必要性） 假设f∈T(a,k)，因此

因此

定理6 设k∈N,k≥2,a＞0，函数f(z)∈T(a,k)，则函数也属于函数类T(a,k).

证明 因为

因此，由定理1可得，F(z)∈T(a,k).

定理7 设k∈N,k≥2,a＞0，如果F(z)∈T(a,k)，则（3）定义的函数，在|z|＜R*是单叶的，其中为实数,且c＞-1

要得到结果，只要在|z|≤R*时，需满足条件|f'(z)-a|≤1或

即

则(4)式将成立，上式可化为：

因此，f(z)在|z|≤R*为单叶函数.极值函数为

注：当上述定理1至定理7中，分别取a=1,k=2时，就得到文[1]中的主要结果.

〔1〕Qin Deng, On univalent functions with negative coefficients[J].Applied Mathematics and Computation, 2007,189:1675–1682.

〔2〕P.L.Duren.Univalent functions[M].Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften,Band 259,Springer-Verlag,New York,Berlin,Heidelberg and Tokyo, 1983.

O174

A

1673-260X（2017）05-0001-02

2017-01-07