多元积分学教学演示系统的设计和实现

倪中宇

（铜陵学院，安徽 铜陵 244000）

多元积分学教学演示系统的设计和实现

倪中宇

（铜陵学院，安徽 铜陵 244000）

计算机多媒体教学演示系统在我国各高校的课堂教育中扮演着重要的角色，通过将书本的理论知识转变为图文并茂的可见形式，加入声音与动画，充分展示教学内容的变化和发展.多元积分的学习不仅使学生掌握一门新的技能工具，更重要的是培养了学生科学的思维方式，促进学生辩证的看待问题.多元积分在教学内容上分为概念和计算，由于计算过程的复杂以及多元积分中各个概念的迥然不同，因此传统的黑板教学以及图书等并不能较为高效的让学生快速理解并掌握其相关概念和运用.随着CAI技术的日益进步，运用计算机和互联网的发展来创新教学形式，辅助教学以提高教学质量的手段已经成为了教学改革的趋势和发展.

多元积分；教学演示；Mathcad

微积分的产生标志着近代数学的开始，高等数学中，研究函数的微分和积分以及其相关的概念和应用数学分支成为了数学的一个基础学科，其中多元积分是微积分学科的重要组成部分之一，是一元函数分微分学和积分学的总称，多元积分包含着以上的学科概念，更重要的是涉及了一系列的算法.通过以一元微积分为基础，阐述积分中的相关概念和计算规律，同时分析由于变量个数的增多而带来的特点.因此，不论是在高校的课堂教学中还是日常对微积分的实践运用中，多元积分都具有重要的理论价值和实用价值.

1 多元积分

多元微积分学主要是在微分和积分中起到运算和应用的作用，为了能够更恰当的描述和分析物理现象以及数学规律，产生了一系列复杂的算法.其中牛顿提出的偏导数和重积分，以及欧拉提出的二重积分和累次积分与换元计算，以及拉格朗日的三重积分都是多元积分的重要组成部分，而多元积分的产生也并不是以实现数学计算为最初目标，而是将其付诸于物理的力学研究和计算中，之后逐渐纳入数学计算范畴.

多元函数积分是高校微积分教育教学过程中的重点和难点，主要涉及了二重积分、三重积分、对弧长的平面曲线积分、对坐标的平面曲线积分、对弧长的空间曲线积分、对坐标的空间曲线积分、对面积的空间曲线积分、对坐标的空间曲线积分、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分等八种形式.从其形式上来看，多元积分的教学势必要明确这一系列设计了面积、空间、曲面以及坐标等复杂概念的明确，但通过传统的黑板教学和教师讲解无法直观的体现这些概念，造成学生在多元积分的学习过程中因为信息的不全面或出现误差而降低学习效果.

其次，多元积分可以分为对测度的积分和对坐标的积分两大类.第1类积分包括了一重积分、二重积分、三重积分、对弧长的平面曲线积分、对弧长的空间曲面积分以及对面积的曲面积分，在公式的表达上可以体现为：

第1类积分具有相同的符号并有统一的记号，而第2类积分则包括定积分、对坐标的平面曲线积分、对坐标的空间曲线积分和对坐标的曲面积分，可以表示为：

2 传统课堂教学的难点

不论是第1类积分还是第2类积分，在方程公式上都十分复杂，而除了学习这些基本的多元积分的概念和分类等理论知识外，最重要的是通过教学使学生充分掌握多元积分对生活和实践的重要作用，使学生能够充分的掌握微积分的计算与演变.但不难看出，微积分在公式表现和演变计算过程上具有复杂性和精确性，通过传统的黑板教学和教师讲授很难快速高效的完成一系列公式的演变计算过程，同时十分容易出现计算错误而影响多元积分的应用.因此多元积分学的教学过程必须采用更加直观且快捷的方式和手段以实现课堂内容的充分展示.

我国传统的班级在进行多元积分教学的过程中，展现出了诸多弊端.首先，在教育教学手段上存在着明显的局限，对多元积分这类难度较大的教学内容，传统的班级教学往往只能通过老师对概念的讲解和利用板书进行内容反映，既不直观，又无法将内容完整的、高效的展现.其次，传统的教学模式无法改变学生被动学习多元积分的现状，内容难度较大的教学内容很容易造成学生因为难度高学习困难而让其学习，学生完全处于被动学习的状态，产于度有限，无法充分调动学生的思维能力和参与能力，造成学习效果的减弱.再者，传统的教学模式效率低下，多元积分涉及十分广阔的概念、定义、定理和公示、计算，使用板书演示公示计算或者作图往往会占用大部分的课堂时间，而我国高校的整体教学课程安排也并不允许教师提早在教师中进行作图和公式的准备，使课堂的时间容量大大降低，无法在有限的课时内对教学内容进行深入的讲解.

3 多元积分教学的演示系统设计

多元积分的教学演示系统设计主要是通过计算机多媒体教学演示系统在多元积分学的应用中实现理论知识和复杂公式的直观体现，通过计算机多媒体多变的展现形式和直观的图文声画，极大程度的提高多元积分的表现力，同时吸引了学生的学习兴趣提高，在知识获取的能力和知识获取的途径上都有了较好的提升.

伴随着互联网和电子科技的发展，多元积分教学课堂中能够使用到的多媒体教学和演示系统越来越多样，通过程序设计语言，设计开发计算机辅助教学课件，即CAI课件，随着CAI技术的日益普及和成熟，利用计算机辅助多元积分教学的模式已经成为高校教师普遍接受并运用的手段，也成为教育教学改革的整体趋势.通过计算机演示系统的运用，改进传统教学模式的局限性，并能够通过程序设计保证了教学内容的准确性.

常用的多元积分教学演示系统主要是借助Delphi和 MathCad两个系统的相互结合，通过课堂的软件使用对多元积分从概念、计算到演变和作图的展示，能够更加直观的反映多元积分的特点.在演示软件的逻辑结构设计上，设计了积分区域分割的动态演示和微元法积分过程的动态演示，MathCad演示系统从积分的概念出发，对坐标系和积分的计算做出了逻辑化的建构，逻辑结构如下图：

MathCad教学软件具有极为丰富的科学计算函数，涉及矩阵分解和求特征值、曲线拟合和微分方程数值解等，数据类型十分丰富且运算符号完整，能够满足微积分、矩阵运算等多个数学分学科的计算和演示.其中二维和三维图形动画功能能够更加直观的、形象化的展现多元积分在曲面积分和空间坐标上的展示.

运用MathCad使程序和运行结果出现在同一个画面，在多元积分上课前，教师可以自己提前准备公示和图表的展示，在教学过程中，程序和运行结果是活动的，能够及时发现错误并当场改变，尤其是在多元积分的演变和计算中，通过Mathcad的展示能够灵活的改变程序中的公式、符号，然后快速的的输出与科学计算相应的公式和图标，为学生提供了实验和探索的重要工具.

以多元积分中的双曲抛物面为例，Mathcad通过编写函数M3D（F,X1，X2，△X，Y1，Y2，△Y）生成数据矩阵，根据矩阵特点获得双曲抛物面，并直观的表达.同时将函数中的自变量X,Y的取值作为函数的输入参数范围，通过后台计算输出运算的结果，并将得到的运算结果保存在矩阵中，进一步得到双曲抛物面.通过Mathcad的计算和作图结果可以转化为Contourplot模式、3D Scatterplot、3D Barplot等形式，并进一步根据课堂内容要求进行应用.最终运用到实践教学过程中.这一过程很好的利用了软件的程序灵活性，利用图形的旋转，从不同的角度展示双曲抛物面的马鞍面彩色图形，（如下图所示）将多元积分的抽象二次图形转变为空间内的三维图形，提高学生的积极性.

以Mathcad为代表的CAI教学演示系统主要是借助互联网和计算机算法辅助，实现教学活动，尤其是数学公式的计算，通过教学演示系统在数据和演变过程中的直观体现，能够提供学生讨论教学内容，并积极参与到教学进程中，实现数学思维训练的机会.CAI相比于传统的课堂教学和口语化传授方式，能够更加提高学生对于学习的自主性，也能够使学生借助电脑和软件自行了解数学公式的演变过程，提供了一个良好的个性化学习环境.CAI教学演示系统的运用具有交互性、多样性、个别性、灵活性等特点，在一定程度上克服了口口相传以及板书形式的传统教学方式所产生的方法单一、内容片面的缺点.同时方便快捷且准确度高的特点促使系统的使用者能够节省学习时间，提高课堂教学质量，提升了教学的总体效率，促进了教学目标的优化和教学过程的科学化.

4 多元积分学的教学演示系统实现的重要意义

4.1 计算机辅助演示系统运用可以激发学生的课堂学习兴趣

多元积分的教学本身具有较高的教学难度，且数字的计算和公式的使用过程也较为枯燥，一旦教学模式上沦入枯燥和呆板，容易使学生失去学习的热情和欲望.但以Mathcad为主这一类CAI演示系统的运用不仅方便了教师的课堂展示，而且能够让学生自己动手进行多元积分公式的演练和程序设计，自己通过实践在CAI程序中获得多元积分的相关结果，在数学教学，尤其是难点教学的过程中，必须要保证学生有较为积极的学习兴趣，因此创造良好的学习环境，使用灵活的教学形式和教学方法，为学生的持续学习和效率提升创造良好的分为，才能够最终激发学生自我学习和主动学习的动力.教学演示系统的运用从听、学、练的三个层面都提高了学生的学习兴趣.

4.2 运用多媒体计算机教学有利于培养学生的观察力和创新能力

多元积分涉及众多从平面到立体、从二维到三维的数据模型和图形公式，通过教学演示系统将传统教学手段无法展现的多样性通过直观的图画或动画展现出来，尤其是数学教学中的平面和立体的区别，外部形态和内部构造的区别.同时，计算机的算法更加具有稳定性和可控性，教师在运用多媒体演示系统进行运算时，能够避免课堂环境影响造成的计算错误，提高计算和传授的精准度；学生也可以借助系统分步骤演算的过程，准确把握关键信息，并进一步掌握基本的原理和方法.因此，演示系统的使用一方面有利于学生对多元积分概念和运算的细节性能力培养，同时还能够创造性的为学生构建真实的立体的计算环境，实现学生学习积极性的提高以及探索问题的能力的提高.通过课堂演示的运用，老师积极引导学生进行推算和讨论，也能够培养学生发现问题并解决问题的能力.

教学演示系统对多元积分的推演和教学能够带动学生积极参与到课堂学习中，以形式新颖的方式最大程度的提高学生对枯燥的数字计算和公示推演的积极性，提高学生学习过程中的成就感，并培养一系列的相应能力和素质.

4.3 计算机辅助教学可以帮助通用技术教师把握课堂效率

传统的多元积分教学课堂经常出现为了完整的表达公式和图形，教师花费半节课甚至更多的时间为同学们在黑板上进行板书和作图的现象，大大的占用了教学课时，挤压了教学内容的科学安排，在重点环节的讲解上往往会因为时间不够而放弃，但是我们借助计算机辅助教学，由教师通过多媒体和演示系统提早准备演示内容，可以有效的节省在课堂上板书和作图的时间，大大提高数学教学课堂的效率，借用计算机教室，老师带动学生一同对多元积分的每一环节进行动手探讨，通过网络和程序设计开拓独立思考的能力，在自主的探索和发现中，同学们也能更好的掌握多元积分的难点和重点，对有问题的地方做到及时发现，及时补充和学习.这样的教学方式，不仅提高了单一课堂的教学效率和质量，同时也为学校节省了创办通用技术教师的成本和资源.

4.4 教学演示系统对学生的学习能力的提升

随着素质教育的深入，社会对人才的需求不再是简单的掌握知识，而是需要全面的综合性人才，既有专业的知识理论素养，又有较快的理解能力和较强的学习能力.而不论是从学校教育功能的目标出发，还是为了适应社会的需求和对人才素质的要求而言，当前的教育过程中都必须加强对学生学习能力和综合素质的培养，尤其是互联网能力和计算机技术的掌握.在运用教学演示系统的同时，不仅能够完成知识的传递和学习的过程，保证学生专业能力的提供，最重要的是，通过互联网教育和计算机教学的运用，教育资源能够得到有效的整合以及合理的运用，实现传统教学目标和现代教学手段的额有机统一，在教育的意识和观念上，这是一种极大程度的进步.

为了适应社会对综合性人才的培养，为了促进教育现代化的发展以及信息化的要求，多媒体计算机在教育课堂上的使用是不可回避和忽视的社会趋势，教师应该努力提高自身的现代化教学手段学习能力，充分发挥计算机技术和互联网交汇的重要作用，通过对演示系统的使用提高教学质量，提高学生培养的效率和质量.才能使多元积分的教学，使整个数学课堂的教学更加科学化和高效化.

〔1〕刘昕辉，李晓平.演示型CAI课件在高等数学教学中的应用[J].辽宁师专学报(自然科学版)，2006,8(1):44-45.

〔2〕张立杰，成戈.多元积分学教学演示系统的设计与实现[J].新疆工学院学报,2000(2):150-152.

〔3〕周霭如，官士鸿.多媒体教学演示系统制作平台的设计与实现[J].华南理工大学学报（自然科学版）,1998(5):12-16.

〔4〕王华峰，徐冬前.多媒体远程教学平台系统课件演示模块的设计与实现[J].全国计算机新科技与计算机继续教育学术会议,2003.

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2016-12-22