解答平面解几的另径

2017-06-11 00:48梁义
新一代 2017年6期
关键词:解三角形解析几何圆锥曲线

梁义

摘 要:将解析几何中繁杂、冗长的计算问题转化为几何问题,尤其是解三角形问题,达到精炼、准确处理解析几何问题。

关键词:解析几何;圆锥曲线;解三角形

解析几何是“经典”的坐标法,就是用代数的方法解决几何问题,就是计算几何,但这种计算通常十分繁杂、冗长、甚至无法得出结果。其实解几问题也可以通过数形结合的思想,将问题转化为几何问题。这里我将主要以转化为解三角形的形式,这样很多问题会变得简单、有趣。下面就以近四年高考全国卷(理科)试题为例,举例说明。

例1:(2016年全国理11题)。已知F1、F2是双曲线E:■-■=1的左右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2 F1=■,则E的离心率为( )

A.■ B. ■ C.■ D.2

解法一:在Rt△MF1F2中:

∵sin∠MF2F1=■

∴|MF1|=■|MF2|

∴2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-■|MF2|=■|MF2|

2c=|F1F2|=■=■MF2

∴e=■=■

故选A。

解法二:由sin∠MF2F1=■

∴tan∠MF2F1=■

∴xm=-cym=■

代入双曲线■-■=1

?圯2b2c2-a2c2=2a2b2

?圯2(c2-a2)c2-a2c2=2a2(c2-a2)

?圯2c4-2a2c2-a2c2=2a2c2-2a4?圯2e4-5e2+2=0

∴e2=2或e2=1(舍去) 即: e=■

点评:(1)此题就是圆锥曲线的“焦点三角形”,也是解析几何中的重要三角形。“边”就是圆锥曲线的元素,所以很容易想到解三角形,而且结题效果很凑效。

(2)也可通过解方程计算(方法二)达到目的,但运算量较大,不太精炼。

例2:(2015年全国卷理11题)。已知A、B为双曲线E的左右顶点。点M在E上。△ABM为等腰三角形,且顶角为 °120°,则E的离心率为( )

A.■ B.2 C. ■ D. ■

解:由双曲线的对称性,∠AMB不可能是顶角,不妨设∠MBA=120°。连MF2(F2为E的右焦点)。

在△BMF2中, ∵BM=2a, ∠MBF_2=60°

∴xm=2a ym=■a

?圯■-■=1?圯a=b ∴e=■

故选D

点评:此题就是“顶点三角形”,也是圆锥曲线的重要三角形,自然也是解三角形的问题。由于三角形形状已确定,进而解△BMF2,思维合理、自然。

例3:(2014年全国卷理10题)。已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为L,P是L上一点。点Q是直线PF与C的一个交点。若■=4■则|QF|=______

A.■ B.3 C.■ D.2

解:设|QF|=a, ∴|FP|=4a?圯|PQ|=3a.

过Q作QM⊥L交L于M.

∴OF=4, |MQ|=a

∵△OPF~△MPQ?圯■=■?圯■=■

?圯a=3.

点评:由抛物线的定义|QF|=|QM|,问题马上化解为两个相似Rt△边的关系,迅速解答。

例4:(2013年全国卷理11题)。设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F。点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0.2)。则C的方程式为______

A.y2=4x,或y2=8x. B.y2=2x,或y2=8x.

C.y2=4x,或y2=16x. D.y2=2x,或y2=16x.

解:设N(0.2),连NM、NF.

∴△NMF是以N为直角顶点的Rt△,

由抛物线的定义:xm=5-■.

y2m=2p.(5-■)=10p-p2. 不妨设ym=■

∴■(5-■)-2■+4=0?圯p=2或者8,故选C。

点评:将以MF为直径的圆的过点(0.2)化为△NMF是Rt△是本题的关键。因为垂直,所以可以考虑是勾股数,斜率积、数量积。都较为容易获解。

以上四例都是近四年高考“圆锥曲线”的四道压轴题,其解法却可化为三角形问题。说明三角形解法在“圓锥曲线”问题中很是有效。敬请各位同仁共赏。

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