利用建系法巧解三角形问题

摘 要：在解多个三角形问题时，撇开运用正弦定理、余弦定理的求解方法，尝试在三角形中建立直角坐标系，将解三角形问题转化为解析几何中的直线问题来求解，思路清晰，运算量减少，学生容易掌握，为广大学生开辟另类解三角形方法。

关键词：建系法 解三角形 转化思想 解析几何

人教版高中数学必修5第一章《解三角形》介绍了运用正弦定理、余弦定理解三角形问题。运用正弦定理、余弦定理解单个三角形的解三角形问题时，直接代入公式即可解决问题，通俗易懂，但是在解多个三角形问题时，已知条件较多，要多次运用正弦定理、余弦定理，过程繁琐，运算量较大，学生解起来比较吃力，不容易掌握。笔者尝试在三角形中适当建立直角坐标系，表示三角形各顶点坐标，进而表示三角形各边所在直线方程，将其转化为解析几何中的直线问题来求解，思路清晰，运算量减少，学生容易掌握，为广大学生开辟另类解三角形方法。这也是数学教学的目的所在，教会学生遇到问题要善于思考、分析问题、解决问题、构建模型，寻找不同知识块之间的联系，运用“转化思想”将问题进行转化求解，最终提升学生“数学建模”的数学素养。

首先通过例1介绍两种解法的对比，充分彰显建系法在解多个三角形问题的优势，接着利用建系法巧解两道解三角形问题，其中一道为历届高考试题。

[例1]如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察，测得CD=km，∠ADB=450，∠ADC=300，∠ACB=750，∠DCB=450，A、B、C、D在同一平面，求A、B两点间的距离。

解法（一）分析：在△BCD中，已知两角和一边，据正弦定理可求得BC边;在△ACD中，已知两角和一边，据正弦定理可求得AC边;在△ABC中，已知两边和夹角，据余弦定理求得AB边，问题得到解决。

解：在△BCD中，∠CDB=∠ADC +∠ADB =750，

∠CBD=1800-∠CDB-∠DCB =600， CD=，

据正弦定理得：

在△ACD中，∠ACD=∠ACB +∠DCB =1200，∠CAD=1800-∠ACD-∠ADC =300， CD=，

由∠CAD=∠ADC=300，得AC=CD=

在△ABC中，AC=，，∠ACB=750，据余弦定理得：

解法（二）分析：若以D为原点，以DC为x轴建立直角坐标系，可求得BD、AD、BC、AC边所在的直线方程，进而通过直线相交可求得A、B两点的坐标，据两点间距离公式求得A、B两点的距离。

解：如图，以D为原点、DC为x轴建立直角坐标系，则D（0，0），C（，0）

由，得直线AD方程为：由，得直线BD方程为：

由，得直线BC方程为：

由，得直线AC方程为：

由

由

[例2]如图所示，在△ABC中，，

（1）BC的长度;（2）△ABD的面积

（3）sinC的值

解：如图，以B为原点、BC为x轴建立直角坐标系，设C（m，0），A（x1，y1），（其中m>0）则

∴∵BD为AC边上的中线∴

∴，得m=2，∴BC=2

（3） ∵，C（2，0）    ∴

[例3]（2010陕西高考理科）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：如图，以A为原点、AB为x轴建立直角坐标系。由已知可得B（，0），，

∴直线AD方程为y=x ，直线BD方程为

联立上述两个直线方程解得D（，）。设C（x1，y1），由∠CBA=900-600=300，BC=得

，即C（，）

∴救援船到达D点需要时间为：30÷30=1（小时）。

通过上面例1两种解法的比较，发现解法一要多次运用正弦定理、余弦定理来解三角形，运算量大，关系复杂，特别例2中还要设两个未知数，运算量更大，学生不易掌握。而解法二思路条理清晰，直观易懂，该方法运算量明显简便很多，好用又好懂。那么如何适当建立直角坐标系呢？一般以三角形的顶点且对应角的度数或其三角函数值已知的為坐标原点，以该顶点所在的边为x轴，建立直角坐标系，这样有利于表示各顶点坐标和各边所在直线方程。

利用建系法解三角形问题，为学生开辟了另类解三角形的方法，同时也培养了学生数学建模转化解决问题的能力，在今后的教育教学中，可引导学生思考其他数学问题之间是否可以相互转化，真正把这种能力迁移上升为“科技转化为生产力”的数学素养。

作者简介

杨卫乾，男，1974年1月出生，学历本科，理学学士，中共党员，1996年8月参加工作，现任教于福建省漳州市芗城中学，在高中数学研究中取得一定成果，在同行中具有较高声誉。