一道摸考选择压轴题的分析与探究*

安徽省太和县太和中学(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中学(236500) 崔 玮

一道摸考选择压轴题的分析与探究*

安徽省太和县太和中学(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中学(236500) 崔 玮

一道呈现简洁、极富韵味的好题,凝聚了命题者的智慧,往往让我们爱不释手、流连忘返,其较强的启发性、代表性、拓展性给人启迪．合肥市2016年高三第三次教学质量检测数学试题(理)的选择题的压轴题就是一道独具匠心、意境幽深的好题,值得我们细细品味．

1.试题再现

定义在R上的函数f(x)满足:f(x)＞1且f(x)+f′(x)＞1,f(0)=5,其中f′(x)是f(x)的导函数,则不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x的解集为( )

A.(0,+∞) B.(−∞,0)∪(3,+∞)

C.(−∞,0)∪(0,+∞) D.(−∞,0)

2.试题的条件和待求分析

先分析题目的条件和待求．题设有三个条件:①f(x)＞1;②f(x)+f′(x)＞1;③f(0)=5．待求是:不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x的解集．

条件①显然是待求不等式有意义的保证,条件②f(x)+f′(x)＞1是求解不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x的依托,必然是解题的关键信息;条件③想必与不等解集的端点值有一定的关系．

欲探求不等式的解集势必要研究函数的单调性,而结合题设可知,判断函数的单调性须借助于导数的应用,本题的难点自然是如何根据条件②灵活地探求不等式对应函数的单调性．

你见过类似f(x)+f′(x)的结构吗?注意到(ex)′=ex, (e2x)′=2e2x,你有什么想法呢?[exf(x)]′=?

本题最终是求解不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x,注意到左端含有“ln”,运用逆向分析,亦即求解它等价于f(x)−1＞即exf(x)−ex＞4．

好!自然将待解不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x与题设条件中f(x)+f′(x)建立起了联系．

3.试题的解析

待解不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x等价于ln[f(x)−1]＞即exf(x)−ex＞4,

令h(x)=exf(x)−ex−4,则

h′(x)=exf(x)+exf′(x)−ex=[f(x)+f′(x)−1]ex.因为f(x)+f′(x)＞1,所以

所以h(x)=exf(x)−ex−4单调递增,又f(0)=5,所以h(0)=e0f(0)−e0−4=0,故h(x)=exf(x)−ex−4＞0=h(0)的解集为(0,+∞)．故答案为A．

评注题设条件中的f(x)＞1是为了保证待解不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x有意义,f(x)+f′(x)＞1是为了说明所构造函数的单调性,f(0)=5是借助于所构造函数的单调性探求不等式ln[f(x)−1]＞ln4−x的解集特定的数据,题设中的条件不多不少,给的恰到好处．

4.试题的变式与反思

我们洞察了本题的因果关系,可否对其进行改造、得到系列的变式呢?进而探究提炼出此类问题的一般性的规律呢?

4.1 变式1 定义在R上的函数f(x)满足:f(x)＞−1且2f(x)+f′(x)+2＞0,f(0)=e−1,其中f′(x)是f(x)的导函数,则不等式ln[f(x)+1]＞1−2x的解集为( )

A.(0,+∞) B.(−∞,0)∪(3,+∞)

C.(−∞,0)∪(0,+∞) D.(−∞,0)

所以h(x)=e2xf(x)+e2x−e单调递增,又f(0)=e−1,所以h(0)=e0f(0)+e0−e=0,故h(x)=e2xf(x)+e2x−e＞0的解集为(0,+∞)．故答案为A．

因为3f(x)+f′(x)＜12,所以

4.4 反思如果待解不等式为ln[f(x)−3]＞−3+5x,那么题设条件应该是什么呢?

首先,要想使不等式有意义,势必满足条件①f(x)＞3;其次,逆向分析待解不等式ln[f(x)−3]＞−3+5x,则它等

因此题设中应有条件②−5f(x)+f′(x)+15＞0或−5f(x)+f′(x)+15＜0;

再者,应用函数u(x)=e−5x+3f(x)−3e−5x+3−1的单调性须满足u(x0)=e−5x0+3f(x0)−3e−5x0+3−1=0,只需赋予某个x0的值即可,一般的,x0的赋值是运用e0给出．

5.试题的解题规律

解析待解不等式ln[f(x)+a]＞bx+c等价于ln[f(x)+a]＞lnebx+c,则e−bx−cf(x)+ae−bx−c＞1,令

则

6.启示

数学问题千变万化,这种变化给许多学生学习数学带来畏惧感,使得他们面对数学的“新”显得“出招无力”．这种现象的根源在于他们只会孤立地去应用某个知识点“套”数学问题,而不会审题,不会分析,不能将题设条件与待解决问题架起一座通畅的桥梁[1]．

“数学是思维的体操．”这就要求我们少一份机械的“套用”,多一分思考,学会审题,善于分析,领悟数学方法与数学思想的渗透,从而能够发现问题并进行“模式识别”,加强知识的梳理与应用,提高知识的运用效率,提高学习与复习的成效[2]．

[1]岳峻.以数学审题探核心素养如何落地[J].数学通报,2016(11): 44-48.

[2]岳峻.提升数学思维素养的教学实践与思考[J].中学数学(上旬), 2015(12):96-98.

*本文系安徽省教育科学规划课题《基于核心素养的高中数学教学的实践途径与策略的研究》的阶段成果;安徽省阜阳市教育科学规划课题《基于微课的翻转课堂的数学教学实践研究》(编号FJK16054)的阶段成果;岳峻名师工作室的初步研究成果.