对“乘法分配律”的教学研究

张涛兴

一、问题

乘法分配律在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中叫做乘法对加法的分配律。关于乘法分配律的“分配”的理解，我们认为，分配应不作为一个完整的词而将其分开为“分”与“配”，“分”即为分开，“配”即为结合。这样理解容易把握其含义。

与其他运算律相比，乘法分配律是运算定律教学中的难点。一是它涉及两种运算，既有加法，又有乘法，学生初学时对其特征较难把握，对一些相似的式子如a×b+a+c，a+b×a+c等常会误套用。二是它有两个表达式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×（b+c）=a×b+a×c。在表述上需要将“两个数的和乘一个数”与“一个数乘两个数的和”概括为“两个数的和与一个数相乘”，增加了概括的难度。三是文字表述涉及较多的概念。如“两个数的和”、“分别相乘”，学生难于独立完成抽象概括。

二、教前思考

（一）目标与任务分析

课标关于这部分内容的要求为“探索和了解运算定律，能运用运算定律进行一些简便运算”。人教版《教师教学用书》关于本节课教学目标为“探索和理解乘法分配律，能运用运算定律进行一些简便运算”。“探索乘法分配律”即要求学生参与特定的数学活动，发现乘法分配律。“理解乘法分配律”即能描述乘法分配律的特征和由来，阐述乘法分配律与其他运算律的联系与区别。为此，在教学中应完成以下相应的任务：（1）探索乘法分配律。包括以下方面：从实际问题的中发现有关例证，即解决有些问题可以用形如（a+b）×c的算式来算，也可以用形如a×c+b×c的算式来算。在此基础上提出猜想：（a+b）×c=a×c+b×c；验证猜想。通过若干具体算式计算或说理验证（a+b）×c与a×c+b×c相等；引导学生用文字进行归纳，并尝试用字母或其它符号表示。（2）理解乘法分配律。从理解结构特点入手，进行形式化练习，把握乘法分配律的内涵。（3）应用运算定律进行简便计算。

（二）设计思考

1.设计策略

一是重视利用乘法的意义理解乘法的分配律。注重通过图示而不是通过计算判断算式的结果是否相等。二是通过较为充分的例证，特别是要让学生能否提供反例。从中让学生感受用不完全归纳法得出结论时要注意的问题。

2.设计思路

根据以上认识，本课关于学习目标、学习任务、学习活动与方式的设计如下：

三、教学实践

【活动一】创设情境，体会“乘法分配律”在生活中的意义。

（投影出示植树活动情景图）

师：你能解决下面3个问题吗？

投影出示：

问题1：负责挖坑、种树的一共有多少人？

问题2：负责抬水、浇树的一共有多少人？

问题3：一共有多少名同学参加了这次植树活动？

学生解答完后，让学生说说问题3的思路。

生1：根据先算出每个小组人数，在算总人数，列式得：（4+2）×25。

生2：根据先分别计算干不同活的学生人数，再算总人数，列式得：4×25+2×25。

师：比较（4+2）×25和4×25+2×25有什么关系？

生：相等。

师：你是怎么知道的？

生：结果相等。

师：不计算，你能很快地知道它们相等吗？

生：（4+2）×25表示（4+2）个25，4×25+2×25表示4个25加2个25，它们都表示6个25，所以相等。

【活动二】举例，理解“乘法分配律”的本质。

師：你能举出像这样的例子吗？

生1：（3+2）×30=3×30+2×30

生2：（5+6）×36=5×36+6×36

师：不计算，你是怎么知道等式是成立的？

生1：3+2=5，左边式子表示5个30，右边式子表示3个30+2个30，也表示5个30。

师：也就是说把5个30分成了3个30和2个30。

师：这样的例子还有吗？有几个？

生：有无数个。

师：老师也举一个例子：25×（4+2）○25×4+25×2，相等吗？

生：相等。

师：你是怎么想的？

生1：结果相等。

生2：两边式子都可以表示6个25。

生3：把25个6分成了25个4和25个2。

师：你能举出像这样的例子吗？

生：20×（4+6）=20×4+20×6

师：不计算，你是怎么知道这两个式子是相等的？

生：把20个10分成了20个4和20个6。

师：这样的例子能写出几个？

生：无数个。

师：老师也举两个，你们判断一下相等吗？10×（2×3）○10×2+10×3，

8×（2+3）○8×2+8

生：不相等。

师：你是怎么想的？

生1：10×（2×3）表示6个10，10×2+10×3表示5个10，所以不相等。应该把10×（2×3）改成10×（2+3）。

生2：8×（2+3）表示5个8，8×2+8表示2个8+1个8，一共3个8，所以不相等。应该在8×2+8后添×3。

【活动三】比较、归纳、概括“乘法分配律”。

师：请观察等式左边的式子的运算顺序有什么共同地方？

生：先算加法，再算乘法。

师：对，先算两个数的和，再与另一个数相乘，这个数可以放在右边相乘，也可以放在左边相乘。

（师板书：和、相乘）

师：等号右边的式子的运算顺序有什么共同地方？

生：先两边相乘，再相加。

师：左右两个式子有什么关系？

生1：左右两个式子相等。

生2：把左边式子括号里的两个数分别相乘，再相加，就得到了右边的式子。

（师板书：分别相乘，再相加）

师：你能用自己的话说说什么叫做乘法分配律？

生：两个数的和与其中一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

师：有什么办法表示乘法分配律？

生1：（a+b）×c=a×c+b×c

生2：（○+△）×□=○×□+△×□

生3：…

四、讨论

1.加强对运算定律本质与思考

如何从源头加强学生对乘法分配律本质的理解，本节课从生活情境着手，使学生领悟概念的本质，这是实现有效教学的根本。

（1）创设情境，从生活到数学。创设情境不仅可以激发学生探究兴趣，还可以引出算式，更是学生理解和思考的依托。如在本节课教学设计上教师注重了从学生的植树情境的实际出发，把数学知识和实际生活紧密联系起来，让学生在不断的感悟和体验中学习知识。

（2）经历数学活动，从表象到本质。数学活动是学生经历数学化过程的再创造活动，是学生自己建构数学知识的活动。本节课的数学活动中，让学生用两种不同的方法解决实际问题，在两个不同的算式之间建立起聯系，让学生初步感知乘法分配律。之后，给学生提供体验感悟的空间，让学生写出符合规律的式子，引导学生在研究讨论中，进一步形成清晰的表象。在此基础上，让学生自己再写出一些符合乘法分配律的等式例子，既为概括乘法分配律提供更丰富的素材，又加深了学生对乘法分配律本质的认识。

2.进一步思考的问题

用怎样合适的教学方式改进学生的理解水平呢？本节课的教学方式是：注重引导学生在课前“先学”，变教学生“学会”为指导学生“先学”，课中采用小组合作的数学活动形式教学，在小组自主探索的数学活动中，引导学生理解乘法分配律的内涵、意义和形式，从而感悟和发现乘法分配律。

总之，在整节课中，学生亲历观察、小组合作、归纳、举例、验证等探究发现的全过程，学生不仅发现乘法分配律的知识，而且学习到了科学探究的方法，数学思维能力得到了发展。