浅谈高考中幂.对数值比较大小

湖南省长沙市开福区周南中学 李仙芝

幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解．比较函数值的大小（1）同底幂比大小，则利用指数函数,同底对数比大小则利用对数函数的单调性进行比较；（2）当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；对数值比较：当（a-1）(N-1)＞0时，；当（a-1）(N-1)＜0时，logNa＜0，即底和真数在1同侧，对数值为正，1异侧对数为负；（3）对多个数进行比较，可用0或1或其它值作为为中介值进行比较(4). 当底数中含有字母时要注意分类讨论；下面介绍几种常见方法和题型。

基础方法1：同底对数式或同底指数式比大小，利用单调性；不可化同底找中介值比大小

例题1:（1）(文)设a＝log954，b＝log953，c＝log545，则( )

A．a＜c＜b B．b＜c＜a

C．a＜b＜c D．b＜a＜c

[答案] D

[解析]∵y＝log9x为增函数，∴log954＞log953，∴a＞b，又c＝log545＝1＋log59＞2，a＝log954＝1＋log96＜2，∴c＞a＞b，故选D.

变式：（1）已知a＝21.2，

A．c＜b＜a

B．c＜a＜b

C．b＜a＜c

D．b＜c＜a

解析

c＝2log52＝log522＜log55＝1＜20.8＝b，

故c＜b＜a.

基础方法2：不同底能化同底的尽量化同底，再用单调性

例题2：

(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )

A．c＞b＞a

B．b＞c＞a

C．a＞c＞b

D．a＞b＞c

答案 D

解析

显然a＞b＞c.

础方法3：指数，对数比较大小，找中介值进行比较

A.x＜y＜z

B.z＜x＜y

C.z＜y＜x

D.y＜z＜x

答案 D

解析 ∵x＝lnπ＞ln e，∴x＞1.

综上可得，y＜z＜x

基础方法4：底数不同，指数相同，则构造幂函数

例题4：设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )

A．a＞b＞c

B．a＜b＜c

C．b＜a＜c

D．a＜c＜b

解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b＜a＜1；

根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2＞log0.30.3＝1，即c＞1.

所以b＜a＜c.

基础方法 5：利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解

例题5：已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=(1/5)log30.3( )

A．a＞b＞c

B．b＞a＞c

C．a＞c＞b

D．c＞a＞b

解析：方法一 在同一坐标系中

分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．

由图象知：

由于为y=5x增函数，5log23.4＞(1/5)log30.3＞5log43.6, 即5log23.4＞(1/5)log30.3＞5log43.6

基础方法6：函数奇偶性及指数式、对数式的运算．

例题6：(2015·天津理，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a＜b＜c

B．a＜c＜b

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a

[答案] C

[解析] 考查函数奇偶性及指数式、对数式的运算．

因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，所以m＝0，

即f(x)＝2|x|－1，所以

所以c＜a＜b，故选C.

总之，比较几个数（幂或对数）的大小是指数函数、对数函数和幂函数性质的重要应用，在具体解题过程中，应先观察要比较的数的特征再选用合适的方法比较大小，有时需要先结合幂与对数的运算性质对要比较的数进行合理的变形，再进行大小比较。