从“同材异构”落实“用教材教”

☉甘肃西和县稍峪中学 吕 强

从“同材异构”落实“用教材教”

☉甘肃西和县稍峪中学 吕 强

教材是用于教学的材料，教学内容的载体，实现教学目标的工具.使用教材的目的是实现教学目标，而终极目标是促进学生的发展.“用教材教”也就是活用教材、创造性地使用教材，让教材为教师所用，为学生所用.《国家基础教育课程改革指导纲要》明确提出了“用教材教”而不是“教教材”的新观念.任何教材到了师生手中，都有一个再加工、再创造的生本化的问题，即将其内化的问题，这样内化了的教材有别于通用教材，也更切合学生的实际.新课程的真正价值是在教与学互动中创生出来，“用教材教”只有围绕学生展开，才显得有实际意义和教学价值.正如叶圣陶先生所说：教材无非是个例子.凭这个“例子”让学生学会举一反三，促进了学生的发展，教材也就用活了.下面从“同样的教材、异样的课堂构建”的层面，通过案例展现“用教材教”的创意.

案例1：人教版数学八年级下册（教育部审定2013）第十七章“勾股定理”第1节“勾股定理”中用勾股定理解决几个问题的例1与例2.

例1 一个门框的尺寸如图1所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

［教材回顾］

分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+ 22=5.

因为AC大于木板的宽2.2m，因此木板能从门框内通过.

［同材异构］

图1

生1：能，可以表示为2.22的算术平方根，即

生2：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2= 12+22=5.所以

故AC＞2.2，因此木板能从门框内通过.

师：在不用计算器、不取近似值的情况下，同学们巧妙地解决了问题，很好！

例2 如图2，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

［教材回顾］

解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2= AB2-OA2=2.62-2.42=1.

图2

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-0.5）2=3.15.

BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不外移0.5m，而是外移约0.77m.

［同材异构］

生1：能，可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-0.5）2=3.15.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不外移0.5m.

师：很好的解法！不取近似值且用作差比较大小，十分巧妙.还有其他解法吗？

生2：有，梯子底端B外移0.5m时，设梯子的顶端A沿墙下滑x（x≠0）m，再比较x与0.5的大小，问题就可以解决了.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

OB=1.

OD=OB+BD=1+0.5=1.5.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OC2=CD2-OD2=2.62-1.52.

OC≈2.1.

OC=OA-x=2.4-x，即2.4-x≈2.1.

因此x≈0.3.

所以梯子底端B外移0.5m时，梯子的顶端A沿墙下滑约0.3m.

师：用方程思想处理问题，“打开了思维的另一扇门”，拓展了思路，这种解法美中不足的是要开平方、取近似值.

生3：我还有一种解法，设梯子的顶端A沿墙下滑x（x≠0）m，梯子底端B也外移xm，再比较x与0.5的大小，问题就可以解决了.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

OB=1.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-x）2.

OD=OB+BD=1+x.

（1+x）2=2.62-（2.4-x）2.

整理化简，得（x-1.4）x=0.又x≠0，因此x=1.4.

所以梯子的顶端沿墙下滑的距离与梯子底端外移距离相等时，其距离为1.4m，而不是0.5m.

师：用方程思想处理问题，又不用开平方、取近似值，两全其美，漂亮！

案例2：人教版数学九年级上册（教育部审定2013）第二十一章“一元二次方程”第3节“实际问题与一元二次方程”中的探究3.

图3

如图3，要设计一本书的封面，封面长27cm、宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

［教材回顾］

分析：封面的长、宽之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的长、宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是

设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.

要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程（27-18x）（21-14x）=

整理，得16x2-48x+9=0.

方程的哪个根符合实际意义？为什么？

思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.

点评：课本上的分析、解答及设问，层层展开，环环相扣，将一个实际问题转化为数学问题，推理严密，论证充分，可以有效培养学生分析问题、解决问题的能力，值得一提的是教材编排的思考，可谓“言未尽意无穷”，给出了师生解决问题的思路导引及其探究的广阔余地.基于此，在课堂上我们开展了一样的教材不一样的探究活动.

［同材异构］

师：从教材编排“思考”的用意来看，课本上提供的解决问题的途径并非最佳方案，有待优化，我们静下心来想想其不足之处在哪里，再就不足进行优化.谁先谈谈自己的看法呢？

生1：解方程这个环节可以优化：

因为9x＞0，27-18x＞0，21-14x＞0，所以0＜x＜1.5.

因此x2=不符合实际，应该舍去.

所以上、下边衬的宽均约为1.9cm，左、右边衬的宽均约为1.4cm.

师：教材上用公式法解一元二次方程，运算量大，耗时低效，生1的解法抓住原方程两边的数字特征并化简方程，利用直接开平方法巧解方程，简捷、高效，值得学习.

生2：可以直接设未知量，优化解题.

要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程

师：直接设未知量和间接设未知量是常用的两种基本方法，生2选用了直接设未知量并用直接开平方法巧解方程，恰到好处，值得借鉴.

生3：可以引入一个未知数x及含x的代数式，优化解题.

封面的长、宽之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的长、宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是9xcm和 7xcm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是（27-9x）

四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，于是可列出方程27（21-7x）+7x（27-9x）=×27×21，或21（27-9x）+9x（21-7x）=×27×21，或27（21-7x）+ 21（27-9x）-（27-9x）（21-7x）=×27×21.

师：很好！生3的解析只引入一个参数x，并且把封面边衬的面积用多种形式表达出来，难能可贵，而且方程化简后用直接开平方法巧解，值得称赞.

生4：可以引入一个参数x并用它表示中央矩形的面积，优化解题.

封面的长、宽之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的长、宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是9xcm和7xcm，由此得：中央的矩形的面积是9x×7x=63x2（cm2）；上、下边衬的宽度均为（27-9x）cm，左、右边衬的宽度均为

要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三，于是可列出方程

去）.

师：非常好！相比之下，生4的解析是解决这个问题的最佳方案，从所设中央的矩形的长和宽分别是9xcm和7xcm，推理得到中央的矩形的面积是9x×7x=63x2（cm2）和“上、下边衬的宽度均为（27-9x）cm，左、右边衬的宽度均为（21-7x）cm”，充分挖掘题目中的隐含条件，化难为易，用简单一元二次方程破解问题，值得借鉴.

案例3：人教版数学九年级上册（教育部审定2013）第二十五章“概率初步”第3节“用频率估计概率”中的问题2.

某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？

［教材回顾］

销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表1中，请你帮忙完成此表.

表1

填完表后，从表1可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1（结果保留小数点后一位）.由此可知，柑橘完好的概率为0.9.

根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000（kg）.

设每千克柑橘的售价为x元，则（x-2.22）×9000= 5000.

解得x≈2.8（元）.

因此，出售柑橘时，每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.

点评：课本上的解答给人一种舍近求远且零散的感觉，于是引领学生开展了一样的教材不一样的探究活动.

［同材异构］

生：根据估计，柑橘损坏的概率为0.1（结果保留小数点后一位），柑橘完好的概率为0.9.

可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000（kg）.

设每千克柑橘的售价为x元，则9000x-10000×2= 5000.

解得x≈2.8（元）.

因此，出售柑橘时，每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.

师：这种解法绕开了“完好柑橘的实际成本”这个概念及其相关计算，从另一个角度思考，巧用“总售价-总成本=总利润”解决问题，可谓另辟蹊径，更简捷.

案例4：人教版数学年七级下册（2004年审定）第十章“数据的收集、整理与描述”第3节“课题学习 从数据谈节水”中的部分内容.

请合作完成下面的活动.

1.阅读后面附录中的资料，从中收集数据，画出统计图，并回答下列问题：

（1）地球上的水资源和淡水资源分布情况怎样？

（2）我国农业和工业耗水量情况怎样？

（3）我国不同年份城市生活用水的变化趋势怎样？

（4）根据外国的经验，一个国家的用水量超过其水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”，依据这个标准，我国2000年是否曾出现“水危机”？

附录：背景资料

地球上的水包括大气水、地表水和地下水三大类.地表水可分为海洋水和陆地水.陆地水又可分为冰川、河流、胡泊等.地球上水的总体积是14.2亿立方千米.其中，海洋水约占96.53%以上，淡水约占2.53%.而淡水中，大部分在两极的冰川、冰盖和以地下水的形式存在，其中冰川、冰盖占77.2%，地下水占22.4%，而人类可以利用的水还不到1%.

目前，由于世界人口增长、水污染及水资源浪费等原因，所以全世界面临着淡水资源不足的问题.世界各国特别是发展中国家水资源紧缺问题越来越严重.发展中国家疾病死亡事件中80%与缺水和水资源污染有关.

我国是世界上严重缺水的国家之一.中国水资源总量约为2.75×104亿立方米，居世界第六位.人均占有水量仅为2400立方米左右，只相当于世界人均的.居世界第110位.中国已被联合国列为13个贫水国家之一.

随着水利事业的发展，我国的水利建设工程取得了突飞猛进的发展.但由于人口、经济的进一步发展，水资源供应和需求出现了日益尖锐的矛盾.缺水状况在全国范围内普遍存在.以城市供水为例，全国大约670个城市中，一半以上不同程度缺水，其中严重缺水的有110多个.20世纪80年代以来，我国北方许多大中城市因缺水致使居民定量供水，电厂、工厂停产或限产.

我国一方面存在水资源的供不应求，另一方面水资源得不到合理利用.这表现在农业用水效率很低，在灌溉农田时，60%的水消耗于蒸发渗透.农业用水量由1979年的4195亿立方米，到1990年的4634亿立方米，发展到2000年的5147亿立方米.工业用水的重复利用率仅50%，用水量由1979年的523亿立方米，到1990年的702亿立方米，上升到2000年的944亿立方米.城市生活用水量逐年上升（见表2）.

表2：全国不同年份主要城市生活用水情况 （单位：万吨）

水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素.合理利用水资源是人类可持续发展的当务之急.而节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一.我们每个家庭和个人都应该有节约用水的意识，积极参与节水行动，这是实现水资源合理利用的前提和保证.

点评：教材仅仅设计了相关问题，给师生解决问题留下广阔空间.基于此，在课堂上，我们对“我国2000年是否曾出现‘水危机’”开展了一样的教材不一样的探究活动.

［同材异构］

师：请阅读“附录”中的资料，从中收集数据，并整理数据.

生：我国水资源总量约为27500亿立方米；在2000年，我国农业用水量为5147亿立方米，我国工业用水量为944亿立方米，我国城市生活用水量为1944235万吨≈194亿吨.

师：请分组讨论我国2000年是否出现“水危机”.

阳光组：2000年我国用水量为5147+944=6091（亿立方米），用水量占水资源总量的百分比为≈22.1%＞20%，结论是我国2000年出现“水危机”.

超越组：2000年我国用水量为5147+944+194= 6285（亿立方米）（一般1立方米的水为1吨重，这里学生已考虑了）用水量占水资源总量的百分比为100%≈22.9%＞20%，结论是我国2000年出现“水危机”.

奋进组：无法求解，因为资料中没有给出2000年我国农村生活用水量，所以无法求出2000年我国用水量……

红火组：不能求解，理由：资料中没有给出2000年我国农村生活用水量，网上也搜索不到，若时光倒流十年，我们就能通过抽样调查得到2000年我国农村用水量，问题就迎刃而解了.

时光特组、常青组和反思组：无法求解.

师：阳光组和超越组，雷厉风行速度第一，但未理清题意，欲速则不达，结论错误；其余五个组的无法求解论点是否正确呢？（问题悬而未决，讨论进入“死胡同”，学生的思维处在“山穷水尽”的境地）

师：同学们，如果这个问题无法解，那么教材就有大毛病了.是课本错了，还是我们的思维不到位呢？让我们再次把目光投向阳光组和超越组的那个错误结论，在“错误”里，我们能否找到一线希望呢？（一石激起千层浪，一语正中要害，同学们各抒己见，讨论又进入了新高潮）

生1：阳光组，虽然错了，但给我们留下了走向成功的“台阶”，×100%≈22.1%是2000年工农业用水与水资源总量的比，而它已经大于20%了，也就是说仅工农业用水已使我国出现了“水危机”，如果再加生活用水的话，“水危机”的程度就再加一等.（掌声如雷）

师：讲得很到位，非常精彩！这是一个生活中的实际问题，它的解决我们最终用了“不等式”这个数学工具，也给我们留下有益的启示：不能直接解决的问题，可以间接突破；整体无法解决的问题，可以从局部切入；利用相等关系无法解决的问题，可以从不等关系思考.体验得出结论的过程比掌握结论更重要、更有价值.