基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究

●

(川汇区教体局教研室 河南周口 466001)



基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究

●李世臣

(川汇区教体局教研室 河南周口 466001)

在动态数学软件GeoGebra环境下，文章以一道中考数学压轴题为起点，基于初中层面的抛物线、双曲线、平行直线、相交直线上的2个动点对某定点张直角问题进行了深入研究，发现一组有价值的结论，深化了对问题的认识．

GeoGebra；包络曲线；二次函数；反比例函数；轨迹

2014年湖北省武汉中考数学第26题是一道综合性较强的压轴题，其根植于初中核心知识和基本技能，指向于高中优生选拔和素养要求，是一道设计巧妙、简洁明了、内涵丰富的好题．文献[1]对曲线上的定点张直角弦问题进行了研究，若定点不在曲线上会有什么几何特征呢？笔者利用动态数学软件(GeoGebra)就基于初中层面的定点张抛物线上两点成直角问题、张双曲线上两点成直角问题、与两条平行线上的点张直角问题、与两条相交直线上的点张直角问题进行了拓展研究，获得了一些有价值的结论．

1)直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C的坐标；

3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

图1 图2

问题3)说明抛物线上定点对抛物线上的弦张直角，则弦所在直线过定点．那么，这个问题能否推广到一般情况呢？

探究1平面内的定点张抛物线上两点成直角问题[2].

如图2，已知定点P(u,v)，二次函数y=ax2+bx+c(其中a≠0)的图像与直线y=kx+d交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于点H(m,n)．联立方程组

消去y，得ax2+(b-k)x+c-d=0,

则

过点H作对称轴的平行线，交抛物线于点G，设G(m,h)，由点H在直线AB上，得

n=km+d.

由点G在抛物线上，得

h=am2+bm+c,

从而h-n=am2+(b-k)m+c-d=

a[m2-(x1+x2)m+x1x2]=

a(m-x1)(m-x2).

分别过点A,P,B,H作与坐标轴平行或垂直的直线，得垂足D,F,E，则

FH=v-n,EH=m-x2，DH=x1-m,

因为PH⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH.

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

整理得

图3 图4

图5 图6

3)当时T<0，即点P与焦点S分布在抛物线准线的异侧，点P对抛物线的弦张直角不存在．

探究2平面内定点张双曲线上两点成直角问题[3].

图7

如图7，已知定点P(u,v)，反比例函数xy=k(其中k≠0)的图像与直线y=ax+b交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于点H(m,n)．联立方程组

消去y，得

ax2+bx-k=0,

则

由点H在直线AB上，得

n=am+b,

又由PH⊥AB，得

分别过点A,P,B,H作与坐标轴平行或垂直的直线，得垂足D,F,E，则

FH=v-n，EH=m-x2,DH=x1-m.

因为PH⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH，

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

从而

(v-n)2= (m-x2)(x1-m)=

整理得

vm+un-uv-k=0．

图8 图9

探究3已知平面内定点与两条平行线上的点张直角问题.

已知m∥n，设直线m,n的间距为t，定点P到直线m,n的最近距离为s．点A,B分别在直线m,n上，∠APB为直角，PH⊥AB于点H．过点P作平行线m,n的垂线，得垂足为E,F，联结EH,FH，延长PH到点C，使HC=PH．取EF的中点M，点P关于点M的对称点为Q，作直线CQ交直线AB于点D．

1)当点P在直线m,n的异侧时，如图10，因为PE⊥AE，PH⊥AH，所以点A,E,P,H共圆，∠EHP=∠EAP．同理可得∠PHF=∠PBF，从而

∠EHF=∠EAP+∠PBF=∠APB=90°,

即点H在以EF为直径的圆上．

由中垂线和中位线的性质知，

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH=t(定值)，

从而点D的轨迹是以P,Q为焦点、以EF为长轴的椭圆，是直线AB的包络曲线．

由于点P在点H轨迹圆的内部，于是

s

2)若点P在直线m(n)上，则点B(A)与点F(E)重合，∠EHF=90°，点H的轨迹是以EF为直径的圆(除点E,F)．显然，0

图10 图11

3)当点P在直线m,n的同侧时，如图11，因为PE⊥AE，PH⊥AH，所以点A,P,E,H共圆，∠EHB=∠EPA．同理可得∠BHF=∠BPF，从而

∠EHF=∠EPA+∠FPB=∠APB=90°,

即点H的轨迹是以EF为直径的圆．

由中垂线和中位线的性质知，

|DQ-DP|=|DQ-DC|=QC=2MH=t(定值)，

从而点D的轨迹是以P,Q为焦点、以EF为实轴的双曲线，是直线AB的包络曲线．

由于点P在点H轨迹圆的外部，因此

s

探究4已知平面内定点与两条相交直线上的点张直角问题．

1)定点在两条垂直直线的直角区域.

如图12，∠UOV=90°，PE⊥OU于点E，PF⊥OV于点F，PE=m，PF=n．点A,B分别在直线OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于点H，则点H在直线EF上，直线AB的包络曲线是抛物线，且

事实上，因为PE⊥OU，PH⊥AB，所以点A,E,H,P共圆，∠AHE=∠APE．同理可得∠BHF=∠BPF．又因为∠APB=90°，∠EPF=90°，所以∠APE=∠BPF，从而∠AHE=∠BHF,即点H在直线EF上．

图12 图13

2)定点在两条直线形成的锐角区域.

事实上，延长EP交直线OV于点J，延长FP交直线OU于点K，因为PE⊥OU，PF⊥OV，所以点E,F,J,K共圆，JK为该圆的直径，取圆心为M．联结EH,FH，因为PH⊥AB，所以点A,E,P,H共圆，∠EHP=∠EAP，同理可得∠PHF=∠PBF，从而

∠EHF= ∠EAP+∠FBP=∠APB-∠AOB=

90°-θ=∠EKP,

即点H在定圆⊙M上．

延长PH到点C，使HC=PH，延长PM到Q，使MQ=PM．直线CQ,AB交于点D，联结PD，由中垂线和中位线的性质知PD=CD，CQ=2MH,从而

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是点D的轨迹是以P,Q为焦点、长轴长为JK的椭圆，是直线AB的包络曲线．

因为PM=MQ，KM=MJ，得四边形PJQK为平行四边形,所以JQ=PK，JQ∥FK，则JQ⊥OV．又因为∠KPE=∠JPF=∠EOF=θ，所以

PQ2= (PF-JQ)2+FJ2=

从而JK=2a，PQ=2c．由于点P在点H轨迹圆的内部，于是a-c≤PH≤a+c．

3)定点在两条直线形成的钝角区域.

如图14，∠UOV=θ(其中90°<θ<180°)，PE⊥OU于点E，PF⊥OV于点F，PE=m，PF=n．点A,B分别在直线OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于点H，则点H在定圆上，直线AB的包络曲线是双曲线，且c-a≤PH≤c+a(其中a,c设置同上)．

图14

事实上，延长PE交直线OV于点J，延长PF交直线OU于点K，因为PE⊥OU，PF⊥OV，则点E,F,J,K共圆，JK为该圆的直径，取圆心为M．联结EH,FH，因为PE⊥OU，PH⊥AB，所以点A,E,P,H共圆，∠PEH=∠PAH，同理可得∠PFH=∠PBH.在凹四边形PEHF中，

∠EHF= ∠PEH+∠PFH+∠EPF=

∠PAH+∠PBH+90°-∠EJF=

180°-∠EJF,

即点H在定圆⊙M上．

延长PH到点C，使HC=PH，延长PM到Q，使MQ=PM．直线CQ,AB交于点D，联结PD，由中垂线和中位线的性质知PD=CD，CQ=2MH,从而DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是点D的轨迹是以P,Q为焦点、实轴长等于JK的椭圆，是直线AB的包络曲线．

易得四边形PJQK是平行四边形，于是JQ=PK，JQ∥FK，JQ⊥OV．因为∠KPE=∠JPF=∠EOF=180°-θ，所以

JK2=KF2+FJ2=

PQ2= (PF+JQ)2+FJ2=

于是JK=2a，PQ=2c．由于点P在点H轨迹圆的外部，从而c-a≤PH≤c+a．

波利亚有过一个比喻：“好问题如同某种蘑菇，它们大都成堆地生长．找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能在附近就有好几个．”这个比喻形象而生动地说明了数学问题之间存在着紧密联系．本文从一道中考压轴题出发，借助数学技术，在问题解决之后，通过类比、迁移发现证明了定点张常规曲(直)线上的点成直角的几何特征，深刻揭示了其内在规律，如同找到了更多的蘑菇，举一反三、闻一知十．

[1] 李世臣．一道中考数学压轴题的探究与推广[J]．数学教学，2016(1)：25-29.

[2] 李世臣，陆楷章．圆锥曲线对定点张直角弦问题再研究[J]．数学通报，2016(3)：60-64.

[3] 朱寒杰．由一道双曲线试题引起的探究与思考[J]．中学教研(数学)，2013(12)：14-16.

2 问题分析

一方面，高三学生已学过了高中数学的所有知识和基本技能，解题经验也比高一、高二的学生要丰富，对于问题的分析与思考能够更深入；另一方面，在课堂时间的安排上，高三阶段可以花更多的时间在问题的探索、解决、比较、综合等高层次的思维活动中，而不必担心教学进度的问题.因此，可以利用这两方面的优势来设计我们的课堂教学，以实现继续发展学生数学核心素养的目标.笔者在第一轮复习中以小专题的形式上了一节“立体几何轨迹问题”，下面以这节课的几个片断为例谈几点认识，以求教于同仁.

3 实施案例

3.1 通过师生互答，引导学生审题

图1

片断1PPT放映题目,师生共同分析题意.

例1如图1，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α内的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是

( )

A．直线 B．抛物线

C．椭圆 D．双曲线的一支

(2015年浙江省数学高考理科试题第7题)

师：已知条件有哪些？这些条件中哪些是变量，哪些是常量？需要我们做些什么？

生1：条件“AB与平面α所成的角为60°”是常量，P是动点，是变量，它要满足∠PAB=30°，我们的任务是求点P的轨迹.

生2：条件中还有“点P在平面α内”“∠PAB=30°”也是常量.

师：嗯，分析得不错.这是一个以立体几何为载体求轨迹的问题，根据条件你们能想象它们在空间的情形吗？能否用身边的物件来摆一个符合题意的示意模型？

(教师让一个学生在讲台上展示，他用两支笔和一本书摆了个模型.)

师：非常好，刚才我们也说到这是动点P的轨迹问题，那么哪些条件是限制动点P的呢？

生3：点P需满足既在平面α内又要使∠PAB=30°.

师：你能想象点P是怎么运动的吗？

(生3沉默.)

生4(同时用两支笔示意了转动情形)：如果只考虑∠PAB=30°,那么点P在以AB为轴、PA为母线的圆锥面上.另外，点P又要平面α内，因此点P应该在圆锥与平面的公共线上.

师：你们看呢？

生3：对啊，这样就变成一个圆锥面与一个平面的交线了.

3.2 鼓励交流讨论，展现学生风采

片断2画图法描述7种情形.

教师在让学生回忆“一个平面截圆锥得到什么曲线”时，生5在黑板上画出了图2～4：

图2 图3 图4

师：请解释一下你画的图.

生5:我是画出了圆锥的轴截面，就是这两个三角形，这条直线表示从侧面去看平面:当平面与一条母线平行时得到的是抛物线(图2)，当平面与圆锥的一侧相交时得到椭圆(图3)，当平面与圆锥的两侧都相交时得到双曲线(图4).

师：大家能想象吗？生5的这种画图法比画立体几何直观图要方便得多，他把立体几何问题平面化了，并凸显了关键元素.

(此时，教师用Flash演示3D模式下的圆锥曲线，帮助空间想象能力较弱的学生想象).

师：刚才还有同学说到有可能得到圆与直线,哪位同学可以进行补充？

生6出乎意料地补充了图5～8,然后指着对应的图解释到：当平面与圆锥底面平行时得到圆，当平面过圆锥顶点且不与底面相交时得到一个点，当平面过顶点且与底面相交时得到两条相交直线，当平面经过一条母线时得到一条直线.

图5 图6 图7 图8

听完生6的发言，传来一片赞叹声.此时有一个学生问到：你在解释图6时说平面与圆锥底面不相交，可看上去会相交啊.

生6(沉默了一会儿)：因为我们这里说的圆锥并不是立体几何中的圆锥体，应该是圆锥曲面，不研究它的底，也可认为没有底.就像题目中要求的点P是在圆锥面上.

生7：既然没底，那不是不能说与底相交或是不相交了?

(生6想反驳但又想不出说什么.)

师：生6补充得非常完整，只是他用数学语言描述时出了点小问题，被细心的同学发现了，那么，我们是不是可以讨论一下，从什么角度可以更方便地描述这7种情况？

学生通过交流与讨论，表达了自己的描述方法，这里列举两种认同度最高的描述方法：

方法1利用与圆锥的轴所成角的大小来描述.

如图9，设圆锥母线与轴所成角的大小为θ，轴与平面所成的角为α.1)在平面不过圆锥顶点的情况下：①当0°<α<θ时，交线为双曲线；②当α=θ时，交线为抛物线；③当θ<α<90°时，交线为椭圆；④当α=90°时，平面与圆锥曲面的交线为圆.2)在平面过圆锥顶点的情况下：①当0°≤α<θ时，交线为两条直线；②当α=θ时，交线为一条直线；③当θ<α≤90°时，平面与圆锥曲面的交线为一个点.

图9 图10

方法2虚构底面,借助平面与底面的较小的二面角大小来描述.

如图10，生6把自己的表达修改了一下，他认为可以虚构一个底面，用虚线表示，借助平面与底面的较小的二面角大小来描述上述7种情形.

3.3 反思解题过程，提高解题水平

片断3教师引导学生解决例1，并尝试设计新题.

师：哪位同学能用平面图解释一下例1？

生8(画图后回答)：利用方法1.如图11，母线与轴的夹角为30°,平面退化的直线与轴的夹角为60°，大于母线与轴的夹角，因此交线为椭圆.

图11

师：完全正确.回忆一下自己的解题思路，你在思考过程中有没有受阻？受阻的原因是什么？你认为解决例1的关键是什么？

学生通过分析，得到解决立体几何轨迹问题的方法：先把满足的条件分开考虑，想象满足单个条件的轨迹，然后求这些轨迹的交线.由于该方法与轨迹方程中的交轨法类似，就称为“交轨法”.

师：能在此基础上设计出不同的题目，其答案为其他选项吗？

(有些学生改变AB与平面所成角的大小，有些学生改变∠PAB的大小，都实现了编题目标.)

3.4 分析对比解法，归纳猜想通法

片断4通过两道练习题，辨析提升.

练习1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是

( )

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

(2004年北京市数学高考理科试题第4题)

练习2已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2.四边形ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M,满足MB,MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为

( )

教师先让学生独立解答5分钟，再让学生回答.接着，小组交流下面3个问题，让各组代表说说解法并进行点评：

1)你觉得这两道题能否用例1的解法解决？为什么？

2)这两道题的解法有什么共同之处和不同之处？

3)通过这两道题的解决，你获得了什么经验？

课后思考：能否对这两道练习题进行改编，设计出不同的题目，其答案为其他选项.

(练习1和练习2的答案分别为D和C.这两道题都是把条件转化到同一平面中去解决：练习1转化后可直接用抛物线定义轻松解决；练习2转化后不容易找几何关系，因此可建立平面直角坐标系，用解析几何的方法来解决.)

4 几点认识

4.1 利用身边事物，培养数学眼光

让学生学会用数学的眼光去看世界，是核心素养培养的目标之一.在本课中，笔者让学生用身边的物件来示意例1中条件所要求的点、线、面位置关系，把笔、纸、桌面、书本等抽象成直线与平面就是对客观事物的数学抽象，这在立体几何教学中是非常容易实现的.例如学生所处的教室可抽象成长方体、棱柱等几何体，教室内还可抽象出很多点、线、面的位置关系，若在平时的教学中教师能有意识地加以引导，则将有利于发展学生的数学抽象素养，并学会用数学的眼光去看世界.

4.2 根据专题内容，发展相应素养

每个专题会涉及各自的知识点、解题方法与思想方法，教师在备课中应根据各专题特点精选例题进行设计，以促进学生相应数学核心素养的发展.本专题内容在知识体系中处于立体几何与解析几何的交汇处，可以作为发展学生直观想象的载体.由于在数学感知中，绝大多是视觉感知[2]，因此对于立体几何问题，要在头脑里形成抽象的数学模型，最好的方法就是先从具体模型入手.

笔者先让学生用身边的事物构造出符合条件的模型，然后让学生用平面图进行分析，这是立体几何平面化思想的体现，同时又让学生经历了利用图形描述、理解、探索、解决数学问题的过程.直观想象是发现和提出数学命题、理解数学命题、探索论证思路的重要辅助手段.在数学教学活动中，若教师重视和加强学生在这方面的引导，则将有利于学生养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，有利于学生提升数形结合的能力，有利于学生形成借助图形和空间进行分析、推理、论证的能力.

4.3 创造交流机会，发展数学表达

每个数学核心素养水平的阐述，都会涉及思维与表达、交流与反思[1].学生要表达自己对某个问题的想法就需要对问题进行数学抽象、直观想象、逻辑推理等处理，而在听取他人的表达时又需要理解别人的表达并进行分析，这个过程可以较好地反映出学生的数学素养，高三学生在数学表达上具备了一定的基础，实施起来更加容易.在学生相互合作、相互说服的过程中，气氛会比面对教师要轻松得多，如此，学生可以更大胆地表达自己的观点，在展示他们亮点的同时暴露出他们在表达上的不足.此时，教师加以引导或修正，更有利于发展学生的数学表达与理解能力，有利于发展他们的数学素养.

4.4 引导解题反思，提升思维品质

在高三阶段，为了节省教学时间，提高学生的应试水平，教师常常会把一些有针对性的解法或是通法直接告诉学生，再让学生加以练习运用.如此，学生只是去理解、记忆、应用教师归纳总结出的结论.根据布鲁姆认知目标分类的6个层次“知道—领会—应用—分析—综合—评价”可知：“直接告诉答案”只是让学生的思维停留在前3个低阶思维层次，浪费了发展学生核心素养的机会.因此，笔者尝试用好这一机会，在每个例题后设置了几个问题，引导学生进行解题反思，引导学生分析、比较已获知的解题方法，归纳猜想出适合立体几何轨迹问题的一般性解题思路.长此以往，可以使学生的思维上升到“分析、综合”甚至更高的“评价”层次，同时又能让学生体验数学发现的乐趣，从而更喜欢数学.

5 结束语

在高三数学教学中，教师以小专题、微专题形式，引导学生进行探究与反思，并提供学生间合作交流的机会，使学生在交流中逐步暴露自己在学习中的难点、疑点，然后在生生互动、师生互动中帮助学生突破难点、解决问题，如此，可让学生更好地掌握基本知识与基本技巧，体会其中蕴含的数学思想，久而久之，可使学生的数学核心素养水平得到真正的提高.

参考文献

[1] 王尚志.高中数学课程标准修订背景与学科核心素养[R].全国中小学教师继续教育网，2016.

[2] 吴增生.3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探[J].数学教育学报，2011(1):17-22.

2017-03-16；

2017-04-18

河南省教育科学“十三五”规划课题(2016-JKGHB-1076)

李世臣(1964-)，男，河南项城人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-34-05