数学极限思想求解物理选择题

李旭栋

数学不仅是解决物理问题的工具，数学思维方法也是物理学的一种重要的研究方法。近几年高考物理试题对数学能力的要求不断提高，采用常规思维方法，涉及到的数学运算量大且过程复杂。选择题不同于其他题型，有时对结果的得出，不需要很严密的计算，只要能够大致地了解并弄清楚结果的范围或变化趋势就行了。因此，在做选择题时，合理采用极限法可使问题求解变得简单。

极限法就是极限思维方法。物理现象的产生、存在和变化，由于涉及的影响因素较多、面较广、变化过程较复杂，从而使问题难以求解。如果我们将问题推广到极限状态和极限条件下进行分析研究，并以此作出科学的推理分析，从而得出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特的作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简。如下例：

例1：如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为和的物体A和B.若滑轮有一定大小，质量为且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦.设细绳对A和B的拉力大小分别为和，已知下列四个关于的表达式中有一个是正确的.请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是（ ）

由于在高中阶段所学滑轮为轻质滑轮（不考虑质量），而本题中滑轮质量不能忽略，因此用高中阶段通常的方法无法求解，但如果采用极限法，即令滑轮质量为零，由牛顿第二定律可知：

将带人题中4个选项，只有C选项与所求T表达式相同，故C正确。

例2：如图所示，质量为，倾角为的斜面体A静止在光滑水平地面上，现将一质量为的小滑块B无初速的放在A的光滑斜面上后，A相对地面的加速度为，重力加速度为。下面给出的四个表达式，其中只有一个是合理的。你可能不会求解A相对地面的加速度，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，的合理表达式应为 （ ）

正如题中所述，学生很难对A的加速度直接进行求解，但如果采用极限法则本题可以很容易找到正确答案。对的质量进行极限讨论：

当时，可以认为将保持静止，则；

当时，可以认为将做自由落体运动，即，此时A在水平面上匀加速运动。令B在时间内下落高度为，对B有：

；对A通过作图分析可知在时间内在水平方向通过的位移，又有牛顿第二定律得

联立解得。将上述两种结果分别带入验证，可得正確选项为C。

在前面的例题中，是通过对物块质量分别作极端假设，有时我们也可根据题中所给的物理情景，对动摩擦因素作出假设.

例3：物体A在倾角为的斜面上运动，如图所示。若初速度为，它与斜面间的动摩擦因数为，在相同的情况下，A上滑和下滑的加速度大小之比为 （ ）

本题如采用常规方法，则应先对A进行受力分析，再用牛顿第二定律分别求出上滑、下滑的加速度表达式，最后求出比值，得出答案（解略）。这样做费时易错，若取为参变量，令其为最小值，即。然后进行极端分析，在的情况下，A上滑、下滑加速度大小应相等为，二者之比等于1。把此极端值带入所给选项中，发现ACD均不符合要求，则答案为B。

应用这种方法通常是对题中所给的某些物理量进行极限值假设，有时也可用特殊值进行分析。如：

例4：如图所示，一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一个小球，提起小球使轻绳水平，然后无初速释放小球，不计空气阻力，小球在运动至轻绳达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率变化情况是 （ ）

A.一直增大 B.一直减少

C.先增大后减小 D.先减少后增大

要求小球在运动过程中重力的瞬时功率的变化情况，可以先将任一时刻重力的瞬时功率的表达式写出来，如图所示有：，在下落过程中，逐渐增大，而却逐渐减小，即是逐渐减小的，因此无法判断的变化情况。本题没有要求定量计算，所以如果采用极限分析法，则很容易得出结论。即在最高点时，因为，因此；小球在最低点时，达到最大，但因为其方向与轻绳垂直，速度的方向也垂直于重力，故P也等于0。因此，在运动中，小球在竖直方向的速度分量不为0，则P不为0，故其变化情况只能是先增大，后减小，答案为C。

极限法不仅在力学问题中经常应用，在处理电磁学部分的问题时，只要抓住其极限条件，同样能容易而迅速地运用极限思维来求解。如：

例5：如图1所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：

方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为 （ ）

本题如用初等数学无法作答，但如果采用极限法，即令图1中的R趋近于无穷大，令图2中的r趋近于零，可分别得到无限大的均匀带电平面，那么两个平面的电场强度表达式也应完全相同，则很容易得出正确答案为A。

例6：如图所示电路，电源内阻不可忽略，，.当电键扳到位置1时，电压表示数为；当电键扳到位置2时，电压表示数可能是（ ）

本题没有给出电源的电动势，也没有给出电源的内阻，因此无法得出开关扳到位置2时电压表的读数究竟有多大，但我们可以用极限分析的方法来确定电压表的读数范围，由题意可得：

由此可见，的取值范围为，对照选项可得答案为BC。

例7：如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场有理想界面，用力将矩形线圈从有边界的磁场中匀速拉出，在其他条件不变的情况下（ ）

A.速度越大，拉力做功越多

B.线圈边长L 1 越大，拉力做功越多

C.线圈边长L 2 越大，拉力做功越多

D.线圈电阻越大，拉力做功越多

以极端情况考虑：若速度极小接近于零，则线圈中几乎没有感应电流，就无需克服安培力做功，所以速度越大时拉力做功越多；若极小接近于零，则切割磁感线产生的感应电动势便接近于零，线圈中同样几乎没有感应电流，也无需克服安培力做功，所以越大时拉力做功越多；若极小接近于零，则将线圈拉出时的位移接近于零，所以越大时拉力做功越多；若线圈电阻趋于无限大，则线圈中几乎没有感应电流，亦无需克服安培力做功，所以线圈电阻越大时拉力做功越小，答案为ABC。

必须要说明的是，用极限法解题的关键是准确迅速地选出参量，一般原则是：（1）被选参量存在极值，否则不能选；（2）当赋予该参量某一特定值后，不改变题目所给的物理过程或状态，否则不能选。这就要求学生在平时学习中既要培养使自己具有严谨的逻辑推理能力，又要有丰富的想象能力，才能出奇制胜，达到事半功倍的效果。