一种拟插值算子的改进

周 琴

（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009）

一种拟插值算子的改进

周 琴

（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009）

为更好地提高拟插值算子的精度，文章对MQ拟插值算子的构造及其相关性质进行改进，得到一种具有3次方精度的拟插值算子。数值实验表明改进的拟插值具有良好的逼近精度。

径向基函数；拟插值算子；精度

1 MQ算法概述

MQ方法是由Hardy[1-2]在20世纪60年代提出，并探讨了在地理、遥感和信号系统等方面的应用；Powell等[3]构造了3种拟插值算子LAf，LBf，LCf，并计算误差；Wu等[4]对LCf进行改进，得到了拟插值算子LDf；Ling[5]在LDf(x)的基础上构造了LRf(x)；同时陈荣荣[6]对LDf改进，得到拟插值算子L4f。

本文主要是基于陈荣荣[6]提出拟插值算子L4f，运用吴宗敏等[7]提出改进的思想，得到一种具有3次方精度拟插值算子，并运用数值算例验证新构造的算子具有良好精度。

2 拟插值基本性质

陈荣荣[6]通过在LBf(x)的基础上进行改进，同时对LCf的端点处的进行，并对其适当改进，加入一阶导数，再用差商代替一阶，最终变成L4f(x)的形式，其中xj为等距插值节点：

3 新的拟插值算子L4*Rf(x)改进过程

定义公式3取插值结点：a=x0＜x1＜…＜xn=b，h=max(xj－xj－1)，对于已知函数f∈C1[x0,xn]→R和数据{xj,fj}nj=0，j=0,1,…,n，新构造的算子L4*Rf(x)按照3个步骤改进：

（2）对定义相应序列建立相对应新的拟插值问题，即{xk(j),fk(j)}mj=0；同时将新的拟插值问题带入陈荣荣[6]构造的拟插值格式L4f(x)；经变形可得到新的拟插值问题误差函数方程：

对公式3用节点数据xj上进行拟插值，可得{xj,εj}nj=0函数L4{xk(j)}f(x)的定义域为R，已知函数值fj=f(xj)，由0≤j≤n，可计算得εj=ε(xj)。

（3）利用上一步得到的数据集{xj,εj}nj=0对L4{xk(j)}f(x)再次拟插值，得到新的拟插值：

4 数值实验

本节选取几种拟插值算子：Wu等[4]构造的拟插值算子LDf，Ling[5]在LDf(x)的基础上构造了LRf(x)，陈荣荣[6]提出拟插值算子L4f，新构造的拟插值算子L4*Rf(x)作为被逼近函数，并且选择不同步长的h和形状参数c在最大模度量下比较误差，得到结果如表1—3所示，实验函数为：f(x)=sin(4.5x)。

表1—3表示实验函数的误差数据，分析对比以上误差数据可得：随着步长h和形状参数c减小时，4种拟插值算子误差都减小，而拟插值L4*Rf(x)算子误差都是最小；在每一列中，步长h和形状参数c取相同的情况下，随着插值节点个数的增加，L4*Rf(x)算子误差是最小的，逼近程度是最佳的. 这说明拟插值L4*Rf(x)是可行的。

表1 在区间[0,1]之间取10个点，取h=0.1

表2 在区间[0,1]之间取100个点，取h=0.01

表3 在区间[0,1]之间取1 000个点，取h=0.001

[1]HARDY R L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces[J].Journal of Geophysical Research, 1971（8）：1905-1915.

[2]HARDY R L.Theory and applications of the multiquadric biharmonic method[J].Computers & Mathematics with Applications, 2010（19）：163-208.

[3]BEATSON R K, POWELL M J. Univariate multiquadric approximation: quasi-interpolation to scattered data[J].Constructive Approximation, 1992（8）：275-288.

[4]WU Z M, SCHABACK R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,1994（4）：441-446.

[5]LING L.An univariate quasi-multiquadric interpolation with better smoothness[J].Computers and Mathematics with Applications, 2004（48）：897-912.

[6]陈荣荣. MQ拟插值算子的构造及其相关性质[D].长春：东北师范大学，2015.

[7]吴宗敏.散乱数据拟合的模型、方法和理论[M].北京：科学出版社，2007．

An improved quasi-interpolation operator

Zhou Qin
（Mathematics and Information College of China West Normal University, Nanchong 637009, China）

In order to improve the accuracy of the quasi-interpolation operator, the construction of MQ quasi-interpolation operator and its related properties are improved in this paper, a quasi interpolation operator with 3 cubed accuracy is obtained. Numerical experiments show that the improved quasi interpolation has good approximation accuracy.

radial basis function; quasi-interpolation operator; accuracy

周琴（1988— ），女，四川武胜，硕士，助教；研究方向：偏微分方程数值解。