深挖习题，归纳总结，提升能力

边翠华

【摘要】对于解数学综合题和难题，很多学生都感觉难，找不到解题思路.若注重归纳总结、积累基本图形和结论，寻找解题思路，就变成了“板块”之间的对接，更加轻松.在反比例函数与一次函数图像有两个交点时，有一个重要的结论，利用它可以轻松解决相关的一些难题.

【关键词】反比例函数；挖掘习题；探究；应用

著名的科学哲学家波普尔指出：“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题.”研究数学就是不断地发现问题和解决问题.

一、问题背景，原题再现

图1如图1，已知直线y=-x+8和双曲线y=k1x（k≠0）在第一象限内有两个交点A，B，点A的横坐标为2，求△AOB的面积.这个问题比较简单，常见思路有：

如图1，过点A分别作AM⊥y轴于点M，AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，AE与OB相交于点G.1S△AOB=S△AOD-S△BOD；2.S△AOB=S△BOC-S△AOC.3.S△AOB=S△AOG+S△ABG，S四边形BGEF+S△ABG=S梯形BAEF.4.S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.5.由于此时双曲线和直线关于直线y=x对称，可得△AOC≌△BOD，于是S△AOB=S△COD-2S△AOC.

二、问题提出

如果直线AB：y=ax+b（a≠0）中a≠±1，显然，前面4种思路同样适用.那么，第5种思路还行得通吗？

此时OC≠OD，显然△AOC≌△BOD不成立了，但是S△AOC=S△BOD成不成立呢？

如图1，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BF⊥x轴于点F，S△AOC=112OC·AM=112OC·CA·sin∠OCD=112OC·CA·OD1CD，S△BOD=112OD·BF=112OD·BD·sin∠CDO=112OD·BD·OC1CD，若AC=BD，則S△AOC=S△BOD成立.那么，AC=BD成立吗？

三、问题探究，得出结论

图2如图2，过点A分别作AE⊥x轴于点E，AM⊥y轴于点M；过点B分别作BF⊥x轴于点F，BQ⊥y轴于点Q，AE与BQ相交于点R，连接AQ，QE，BE.易得S矩形AEOM=S矩形BQOF=|k|，∴S矩形ARQM=S矩形BREF，∴112S矩形ARQM=112S矩形BREF，即S△AQR=S△BER，∴S△AQR+S△ABR=S△BER+S△ABR，即S△AQB=S△ABE；∵△AQB和△ABE具有公共边AB，∴AB边上的高相等，∴QE∥AB.于是得ACQE和BDEQ，∴AC=QE=BD.∴S△AOC=S△BOD成立.当交点A，B同在其他象限时，结论仍然成立.

归纳总结，得出结论：如图1，直线y=ax+b（a≠0）和y轴、x轴分别交于点C，D，和双曲线y=k1x（k≠0）在同一象限内有两个不同的交点A，B，则AC=BD，S△AOC=S△BOD.

四、问题深化探究，一般化结论

若交点A，B不在同一个象限，结论成立吗？

图3如图3，交点分别在第一、三象限.同理可得S△AQR=S△BER，用S△ABR分别减去S△AQR和S△BER，同样能得到S△AQB=S△ABE，同理可得ACQE和BDEQ，所以AC=QE=BD.所以S△AOC=S△BOD成立.交点A，B分别在二、四象限时，结论也成立.因此，可以得出一般性结论：直线y=ax+b（a≠0）与y轴、x轴分别交于点C，D，与双曲线y=k1x（k≠0）交于两个不同的点A，B，则AC=BD，S△AOC=S△BOD.

五、应用结论，事半功倍

图4例如图4，一次函数y=k1x+b的图像过点A（0，3），与x轴交于点D，且与反比例函数y=k2x（x>0）的图像相交于B，C两点.若AB=BC，则k1·k2的值为.

思路分析根据以上结论，可得AB=CD=BC，即B，C为线段AD的三等分点，由直线可D-31k1，0，易得B-11k1，2，根据点B在反比例函数图像上，所以-11k1·2=k2，整理得k2k1=-2.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、推理能力和模型思想、应用意识和创新意识.而探究能力就是最为重要的成分，探究能力的高低决定着学生的数学素养的高低.教师在教学时，要善于挖掘教材和习题，它们不仅可以有效地让学生巩固知识，同时还具有广阔的探究空间.长期坚持，有助于让学生逐步养成善于发现问题、分析和解决问题的习惯，提升探究能力.