深挖教材母题搭建思维脚手架提高复习效率

朱国暹

【摘要】美国著名数学家波利亚曾说：“一位专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”挖掘教材母题，搭建思维脚手架，使复习课在原有知识的基础上进行“横向”延伸和扩展，使复习具有针对性和时效性，从而提高中考数学复习的效率.

【关键词】挖掘；教材母题；案例分析；中考复习

一、由教材母题出发，确定专题复习的内容

纵观历年中考试题，几乎都可以在教材中找到母题，所以在专题复习时针对历年中考试题挖掘教材母题，确定专题复习内容，对教材母题加以变式、引申，真正吃透教材母题.才会使复习更有针对性和有效性.

二、案例分析

图1案例如图1，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.（本题为华师大版八上P116第12题，略作改编）

选题说明定值问题是近几年中考出现频率比较高，同时难度又较大的类型.旋转图形中的定值问题难度更是大.

引申1将上例中的正方形改为边长都等于4的菱形ABCD，∠B=60°.一个含60°角的三角尺的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，与菱形的两边BC，CD相交于点E，F（如图2）.

（1）在旋转过程中，通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；

（3）若将中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A，C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图3），那么PE，PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论.

简析三个小题难度逐级提高，学生由母题出发很容易用全等的方法解决不变量的问题，教材母题的解决起到了为学生搭建思维脚手架的很好作用.进而抛出引申2.

引申2△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE，∠A与∠D为对应角.

（1）如图4，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B，C，D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD與线段EC的关系；

（2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图5的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；

图6（3）若△ABC和△DBE为如图6的两个三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α，β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由.

简析本题的解法不再局限于利用全等三角形解决问题，是对教材母题的进一步拓展，第（2）小题的解法用到了利用相似三角形从而得到AD与CE的关系.类似于第（2）小题，可得到在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，且∠AFE=（180-α-β）度.

中考专题复习应不局限于某种固定的方法，引申2在解决不变量问题中利用相似三角形也是其中的一种重要方法.

三、结语

中考专题复习课的教学对教师的备课提出了更深层次的要求，在备课中对教材母题进行深层次的挖掘、变式引申、拓展、再创造，为学生搭建思维脚手架，这样既体现教师对教材内容的理解与阐释；也有利于学生挖掘隐含问题的本质属性，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界.

【参考文献】

[1]徐小建.终结性复习课的总结技艺：“三多”与“三少”[J].中学数学教学参考：中旬，2014（6）：21-23.