如何让高三数学二轮复习事半功倍

刘书霞

【摘要】要科学有效地进行高三数学二轮复习，需要教师对《考试说明》《高考大纲》理解深透、研究深入、把握到位.教师的讲解、学生的练习体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复、重点突出，让大部分学生学有新意、学有收获、学有发展.知识讲解和练习检测的内容要具有科学性和针对性，概念清晰，查漏补缺，使学生形成系统化和条理化.

【关键词】解析几何；设点；设斜率；定点；定值

有人说：“高中是一本太匆促的书，在不知不觉之间，三年的时光，一千多页就会这样匆匆翻过.”高三的时光更是尤显短而快，而高三的学生对数学充满了敬畏的心，会花很多的时间，但效果很不明显.高三数学的复习面广、量大、时间紧，如何科学有效地进行高三的数学复习，是每一位教师值得深思的问题.这里我就高三二轮复习的教学，以解析几何的课堂复习为背景进行探讨.（笔者所带的班级是全年级理科最好的班级，本节课是镇江丹徒中学全体数学教师来学习交流的一节课）

课堂铃声响起时，我找了成绩在班级中等的三名学生到黑板上板书，题目如下：

设A，B分别为x21a2+y21b2=1（a>b>0）的左右顶点，1，312为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距.

（1）求椭圆的方程；

（2）在准线上任取点P（异于准线与x轴的交点），若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证∠PBM为锐角.

生甲：（1）x214+y213=1；

（2）设M（x1，y1）准线方程l：x=a21c=4，设P（4，t），A（-2，0），则AP：y=t16（x+2），联立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韦达定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27.

同理可得N2t2-61t2+3，-6t1t2+3，

故有BM=-4t21t2+27，18t1t2+27，BN=-121t2+3，-6t1t2+3，

BM·BN=-4t21t2+27·-121t2+3+18t1t2+27·-6t1t2+3=-60t21（t2+27）（t2+3）<0，故有∠PBM为锐角.

生乙：（1）x214+y213=1；

（2）设M（x1，y1）准线方程l：x=a21c=4，设P（4，t），A（-2，0），则AP：y=t16（x+2），联立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韋达定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27，故有BP=4+t2，

BM=54-2t21t2+27-22+18t1t2+272，

MP=54-2t21t2+27-42+18t1t2+27-t2.

但这名学生没能继续进行下去.

生丙：（1）x214+y213=1；

（2）由题意知直线AP的斜率一定存在，故设直线AP：y=k（x+2），联立y=k（x+2），

x214+y213=1，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.

设M（x1，y1），由韦达定理得-2+x1=-16k213+4k2，

解得x1=6-8k213+4k2，y1=k（x1+2）=1213+4k2，

故有M6-8k213+4k2，1213+4k2，

联立y=k（x+2），

x=4， 解得P（4，6k）.

故有BP=（2，6k），BM=-16k213+4k2，1213+4k2，

BP·BM=2·-16k213+4k2+6k·1213+4k2<0，

故有∠PBM为锐角.

学生大概花了十分钟左右就完成了题目的解答，回到了座位上.这时我就拿到了题目与学生进行分析.

第（1）问是基本量的计算，没有什么大的问题，足够细心就可以解决.第（2）问要证明“∠PBM为锐角”，这一问法是不是可以换成别的问法，最后题目的本质或解法不发生变化.学生就踊跃站起来说出了自己的看法，如，B在以MP为直径的圆外；延长PB交椭圆于E，则∠MBE为钝角；B在以ME为直径的圆内.目的是培养学生自己在深刻理解题意后，学会改编题目，培养自己出题的能力.要证明“∠PBM为锐角”，生乙处理的方法有些不同，生乙想求出BP，PM，BM三边长，利用余弦定理来解决的，但是没有进行下去，主要还是计算能力不过关，不够自信，导致最后失败，生甲和生丙将∠PBM为锐角转化为BM，BP的夹角为锐角的情况，计算量相对于乙要小一些，最后都证明出来了.但在具体处理的过程中甲和丙还是有区别的，甲设点，但是请学生们思考一下有没有更好的设法，这时立马有生丁提出设M更好，理由：设M可以避免直线与椭圆联立求点，而直接是直线和直线联立求P.“很好！”我带头让学生们为他鼓掌.然后我投影了该学生的解题过程.

生丁：（1）x214+y213=1；

（2）设M（x0，y0），因为点M在椭圆上，

所以有y20=314（4-x20）.（1）

又因为点M异于顶点A，B，所以有-2

联立y=y01x0+2（x+2），

x=4， 解得P4，6y01x0+2，

则有BM=（x0-2，y0），BP=2，6y01x0+2，

BP·BM=2x0-4+6y201x0+2.（2）

将（1）式代入（2）式化简得BP·BM=512（2-x0）.

又因为-20，

故有∠PBM为锐角.

看完了投影，全体学生为生丁鼓掌.所以，在课堂上我们要引导学生去思考、去探索、去比较不同的設法和解法，从中体会解法的优劣，不断地积累自己所需要的方法.下面我又将题目的条件不变，问题改了一下，来讲解解析几何里的定点、定值问题.

变式1kMB·kPB是否为定值，若是，求出该定值，若不是，求出其取值范围.

变式2延长PB交椭圆于N，直线MN是否过某定点.

变式3延长MB交准线于Q，求证以PQ为直径的圆过定点.

将班级学生分成三个小组，每组给出十分钟的时间做各自小组的题，然后由各自小组代表上台进行讲解和展示.

第一组的成员：我们第一感觉就发现在椭圆中有结论kMA·kMB=-114，但在证明该题为定值时，同组成员有设斜率也有设点的，都能很快解决.最后结合kMA·kMB=-114与kMB·kPB=-314，得出kBP=3kMA.这个过程也培养了学生去发现同样的题干在斜率方面还有不同的结论的能力，从而能够体验到学习的乐趣.

其实这是研究我们解析几何里的定值问题的方法，我们一般采用：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算、推理过程中消去变量，从而得到定值.

第二组的成员：我们组有两种方法.

法一：根据对称性，我们发现直线MN若过定点，必定过x轴上的某个点.故我们先取了特殊的直线求出这个点，然后再证明一般情况下的直线也经过这个点.取M1，312，得到AM：y=112x+1，联立x=4，

y=112x+1， 解得P（4，3），又因为B（2，0），有PB：y=312x-3，联立y=312x-3，

x214+y213=1， 解得N1，-312，则MN：x=1.故这个点就是E（1，0）.下面再证明一般直线MN都经过这个点，设M（x0，y0），因为点M在椭圆上，所以有y20=314（4-x20），又因为点M异于顶点A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因为B（2，0），则PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，联立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，则ME=（1-x0，-y0），NE=1-8-5x015-2x0，-3y012x0-5，又因为（1-x0）·-3y012x0-5-（-y0）·1-8-5x015-2x0=3x0y0-3y0-（3x0y0-3y0）12x0-5=0，故有ME∥NE，又因为E为公共点，所以直线MN过定点E（1，0）.

法二：我们直接写出了直线MN的方程，发现是一个直线系，然后研究直线系，找出定点.设M（x0，y0），因为点M在椭圆上，所以有y20=314（4-x20），又因为点M异于顶点A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因为B（2，0），则PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，联立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，MN：y=3x0-1214y0（x-1），故有直线MN恒过定点（1，0）.

教师点评：其实这组学生解答这道题的过程就是解决解析几何里的定点问题的常用的两种的方法.（1）从特殊情况入手，先探求出定点，再证明与变量无关；（2）直接推理、计算，然后利用直线系、圆系、等式恒成立等方法来找定点.

第三组的成员也是类似于第二组采用两种方法.这里就不再赘述.

由于圆可以看成圆心率为0的椭圆，所以刚才的定点、定值问题在圆里是否也存在？可以让学生探讨一下.让学生先去猜想和探讨，然后给出下面一道题.

圆O：x2+y2=4，直线l：x=4，点M是圆O上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别交l于P，Q两点.

证明：∠PBM为锐角.

（1）kMB·kPB是否为定值，若是，求出该定值，若不是，求出其取值范围；

（2）直线MN是否过某定点；

（3）延长MB交准线于Q，求证以PQ为直径的圆过定点.

这样的出题方式，目的是培养学生探讨和研究数学的兴趣，这样高三的数学复习也就不会觉得那么无趣枯燥了.

二轮复习是综合能力突破的关键时间，构建知识体系，进行专项讲练，既可以培养学生的学习能力，又可以培养学生的学习兴趣，还能提高学习的效率.