圆锥曲线题的数与形的双重解法

杨晓光

(河北省邢台市南宫中学，河北 邢台 055750)



圆锥曲线题的数与形的双重解法

杨晓光

(河北省邢台市南宫中学，河北 邢台 055750)

解析几何体现了代数和几何的统一性，曲线的方程代表了其代数一方面，而方程的曲线又代表了几何一方面，因此圆锥曲线问题可以从代数和几何双重方面来研究.圆锥曲线的离心率问题是高考的常考题型，而离心率的求解过程就可以体现出圆锥曲线习题的数与形的双重解法.

圆锥曲线；代数方法；几何方法；离心率；角平分线定理

圆锥曲线的方程展现了其代数方面，而其图象又展现了它的图形一面，因此解决圆锥曲线的相关题目就可以从数与形两方面进行研究.笔者以下题为例，来展示圆锥曲线题目在数与形两方面的解决方案，以期给读者以启发.

分析 (1)此题题目中的条件“a>b>0”是多数学生易忽略的地方，导致此题作图时就出错.由于a>b>0，渐近线斜率小于1，所以双曲线的图象更扁；

(2)解决离心率问题就需要通过题中的条件找到关于a,b,c的关系，进而求出离心率．

解法一 (代数方法) 联立方程解出M,N的坐标，再利用题目中的条件进而求得答案.

点评 此题中的△OMN中线段OF2的长度是定值，所以要求△OMN的面积，只需找到点M,N的纵坐标，因此需联立渐近线和直线MN的方程，解出M,N的纵坐标，使用面积公式，进而找到a,b,c的关系，求出离心率.此方法主要从代数的方面解决了双曲线的离心率问题，方法比较直观，学生容易理解，但缺点在于计算繁琐，容易出错.

由①②可得a=2b

解法三 (几何方法) 在Rt△OMN中，发现x轴为∠MON的角平分线，利用角平分线定理[1]，找到关于a,b,c的关系，进而求出离心率．

由①②可得a=2b.

此题利用三种方法，两个维度(代数，几何)解决了解析几何的相关问题，从而也剖析了解析几何(圆锥曲线)的双重性，即代数、几何双重特性.其实数学就是解决数与形的相关问题，数可以衡量形，形又可以形象的反映数，两者相得益彰，因此学习数学的过程就是对数与形的认知过程，从而达到数形结合的境界，其实这就是数学美的所在.

[1] 陈杰明.解析与平几联手解题[J].数理天地，2016(7).

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

杨晓光(1981-11)，男，汉族，河北人，理学学士，中学一级，从事高中数学教学和高中奥赛教学研究.

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1008-0333(2017)16-0040-02