直线与圆位置关系类问题的解法

王统文

(重庆市垫江中学校,重庆 垫江408300)



直线与圆位置关系类问题的解法

王统文

(重庆市垫江中学校,重庆 垫江408300)

直线与圆方程问题求解问题，对刚进入解析几何学习的初学者是较为困难的.怎样才能顺利完成解答是题他们非常关心的问题.本文就如何挖掘条件、怎样利用几何知识探求解决问题的途径介绍几种方法，帮助初学者树立正确理念、掌握解题方法.

直线与圆；直线与圆的位置关系；解法

直线与圆方程的求解问题，对刚进入解析几何学习的初学者是较为困难的.怎样才能顺利完成解答是他们非常关心的问题.本文就如何挖掘条件、怎样利用几何知识探求解决问题的途径介绍几种方法，帮助初学者树立正确理念、掌握解题方法.

直线与圆的位置关系的判定通常有两类方法：一是代数法，就是将直线方程代入圆方程后得到一个一元二次方程，该方程有两个不同实根(即根的判别式Δ>0)时直线与圆相交，该方程有两个相同实根(即根的判别式Δ=0)时直线与圆相切，该方程无实根(即根的判别式Δ<0)时直线与圆相离；二是几何法，就是计算出圆心到直线的距离d后，与圆半径r比较大小，当dr时直线与圆相离.在实际解题中，仅按照这些基本方法解决直线与圆位置关系类问题是有困难的.本文就如何解决直线与圆位置关系类问题介绍几种方法.

一、利用直译法判别直线与圆的位置关系

在求动点轨迹方程时常常用直译法.直译法就是将题设条件“翻译”为数学术语，再利用相应数学知识解决相应数学问题.这个方法同样适合判断直线与圆的位置关系，就是直接计算出圆心到直线的距离d，再与圆半径r比较大小.

例1 如果点M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点，那么直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( ).

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

所以直线x0x+y0y=a2与圆x2+y2=a2(a>0)相离.

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

所以直线与圆相交.

二、利用曲线系解决切点弦问题

从圆外一点向圆引切线，这样的切线有两条，求两条切线的方程是比较简单的.若要通过求切线方程，进而求出两切点坐标后得到过两切点的直线(通常称为切点弦)方程就比较麻烦.但是，如果利用切线垂直过切点的半径，从而判定圆心、两切点及圆外已知点四点共圆，再利用圆系，就可求出公共弦方程完成求解.

例3 过点P(3，-2)引圆C：(x+1)2+(y-2)2=9的两切线，切点为A、B，则直线AB的直线方程为____.

分析 若按常规思路求解，一般要设出切线PA、PB的直线方程y+2=k(x-3)后，利用圆心到直线的距离等于圆半径求出切线斜率k的值，再求出切点A、B的坐标，从而得到直线AB的方程.这个方法运算量较大，不宜使用.考虑到切线与过切点的半径的垂直关系，不妨利用C、A、P、B都在以CP为直径的圆上，从而AB是两圆的公共弦，问题解决就变得简单了.

解 如图1，因为PA⊥CA，PB⊥CB，

所以C、A、P、B都在以CP为直径的圆上.

且线段CP的中点坐标为M(1,0),

所以圆M的方程为(x-1)2+y2=8.

所以公共弦AB的直线方程为

[(x+1)2+(y-2)2]-[(x-1)2+y2]=9-8,即4x-4y+3=0.

三、利用平面几何知识等价转换

解析几何法就是用代数方法研究几何问题的数学方法.在解决解析几何问题时自然要利用几何知识解决相应问题.

例4 到点A(2,3)的距离等于1的直线同时到点B(-1,-1)的距离为d，当这样的直线有4条时，则d的取值范围是____.

分析 到点A距离等于1的直线就是与以A为圆心、1为半径的圆的切线，到点B的距离等于d的直线是与以B为圆心、d为半径的圆的切线.本题的4条直线就是上述两圆的公切线，所以两圆相离.

解 由题设知|AB|>d+1，即5>d+1，所以0

例5 圆C：(x-1)2+(y-2)2=2上至少有3点到直线l:x+y+m=0的距离1，则m的取值范围是____.

分析 到直线距离相等的两个点有两种情况，一是过这两点的直线与已知直线平行，二是已知直线过这两点连线段的中点.当圆上至少有三点到直线l距离等于1时，三点中必有两点在直线l的靠近圆心的同侧，过这两点的直线l1与已知直线l平行且距离为1，另外的点在直线l的另一侧且与l平行距离也等于1的直线l2上(如图2).从而圆心C到l1的距离小于半径，到l2的距离不大于半径.由此可求出参数范围.

解 圆C：(x-1)2+(y-2)2=2的圆心C(1,2)到直线l:x+y+m=0的距离d为

当圆上至少有三个点到直线l:x+y+m=0的距离等于1时,

四、利用解三角形法解决有关圆的问题

涉及三角形问题时，要联系三角形的解法，利用边角关系、正弦定理、余弦定理等寻找解题方法.同时，要分析问题涉及的元素特征，选择适当的三角形完成解答.

例6 直线与圆C：(x-1)2+(y-2)2=2相交于A、B两点，则正三角形ABP的顶点P到圆心C的最大距离是____.

五、利用对称性求解直线与圆方程问题

有些试题题设条件给出的有用信息较为隐蔽，如果不能挖掘这些隐藏的对解题有用的信息就很难完成试题解答.对称性就是容易隐藏的信息，如角的两边关于角平分线对称、入射线与反射线所在直线关于反射直线对称等，解题时需重视.

例7 已知△ABC的顶点A的坐标为(6,4)，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线所在直线的方程分别为x-y=0,5x-y-10=0，求边BC所在直线的方程.

分析 关于直线BC现有的已知条件很隐蔽，斜率、截距、直线上的点坐标都不是已知，要求BC的方程好像无从下手.但是，如果对角平分线有较深刻的认识，知道角的两边关于角平分线对称，求出点A关于角平分线x-y=0,5x-y-13=0的对称点A1、A2(如图4)的坐标，即可求出直线BC的方程.

利用关于直线对称解答试题时，抓住两对称点的连线与对称轴垂直，连线段的中点在对称轴上是关键.

利用对称性，还可以解决一些最值问题.

[1]王统文.新课标下高中数学概念教学探讨[J].教育，2016(11)：06.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

王统文(1962.8-)，男，汉族，重庆市垫江县人，中学高级教师，从事解题方法研究.

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1008-0333(2017)16-0041-03