横看成岭侧成峰——一道求轨迹方程考题的多角度探究

周 胜 田 羿

(广东省中山市中山纪念中学，广东 中山 528454)



横看成岭侧成峰
——一道求轨迹方程考题的多角度探究

周 胜 田 羿

(广东省中山市中山纪念中学，广东 中山 528454)

平面解析几何的核心就是用方程的思想研究曲线,用曲线的性质研究方程.轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式.解析几何中求动点的轨迹方程问题是一个综合问题,涉及函数、方程、三角、平面几何等基础知识,是高考数学考查的重点内容之一.本文从不同角度探究了一道解析几何轨迹问题的七种解法,希望同学们能从中熟悉基本方法，拓宽解题思路，又能培养分析问题、解决问题的能力.

轨迹方程;斜率;参数法;交轨法;点差法

中山市高一年级2013-2014学年度第二学期期末统考数学试卷第20题如下：

如图，圆x2+y2=8内有一点P(-1,2)，AB为过点P倾斜角为α的弦.

(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；

(3)求过点P的弦AB的中点的轨迹方程.

本文对该题第(3)问求轨迹方程的问题进行了多角度探究与总结，得到以下7种解决方案，与大家一起分享.

解法一 (参数法)当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则直线AB的方程为

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦AB中点M(x,y)，则有：

点评 联立方程，利用根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线相交问题的基本方法.基本模式为：联立消元计算Δ值设出点的坐标韦达定理代入化简运算求解问题.但往往由于涉及字母较多，计算量大，运算技巧强，使得许多学生“易想难算”，望而生畏，产生恐惧心里，因此，对学生而言是一项艰巨的考验.

解法二：(交轨法) 当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则直线AB的方程为

y-2=k(x+1)，即y=k(x+1)+2

设弦AB中点M(x,y)，则有OM⊥AB(O为坐标原点)，所以OM所在直线方程为：

点评 交轨法是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法.选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.这种方法与解法一的想法类似，但是与解法一相比大大减少了化简过程中的计算量.

解法三：(直接法) 设弦AB中点M(x,y)，由圆的性质知OM⊥AB

点评 用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件，能够直接找到动点坐标之间的关系，从而得到所求的轨迹方程. 有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

解法五：(几何法) 设弦AB中点M(x,y).

当O,P,M三点不共线时，连接OP,OM，则△OMP为直角三角形.由勾股定理得：OP2=OM2+MP2,

即 5=x2+y2+(x+1)2+(y-2)2,

当O,P,M三点共线时，弦AB中点M与坐标原点重合，此时M(0,0)也满足上述方程.

点评 此解法充分利用直角三角形中三条边满足勾股定理，把边长满足的等量关系问题转化为代数方程问题，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而培养思维的灵活性.这种解法与解法五类似，区别在于使用不同的方式转化垂直关系.

解法六：(定义法)设弦AB中点M(x,y)

当O,P,M三点共线时，弦AB中点M与坐标原点重合，此时M(0,0)也满足上述方程.

点评 若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义，则可以设出其轨迹的标准方程，然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法.此解法充分利用几何图形的性质及特点，巧妙地进行转化，从而简化运算.这种解决问题的思想凸显解析几何的核心问题之一——几何问题.

两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.

中点M的坐标为(-1,0)，也满足方程

点评 点差法是解决圆锥曲线中“中点弦”问题的常用方法.在求解直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标时，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，再作差，然后将中点和斜率整体代入，即可得到相应的方程.设而不求和整体消元是解析法的重要思想和方法，可以简化很多繁琐的运算.

[1]谢全苗.试论数学解题的思维策略[J].中国数学教育:高中版,2008(9)：40-42.

[2]赵思林.一道全国高考数学试题的多角度探究[J].数学通报,2009(11):25-30.

[3]吕水庚.一道高考试题的解法探究及教学思考[J].中学数学：高中版，2011(10)：29-32.

[4]龚玉珍.例谈动点轨迹方程的求法[J].中学课程辅导·教学研究,2012(13)：127-128.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

周胜(1981.10-)，男，汉族，广东省中山市，硕士，中教一级，从事高中数学教学工作.

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