善用错误效应 提高思维能力

王利亚

[摘 要] 高中数学在培养学生逻辑思维能力、空间想象能力上有着突出的作用. 在数学教学中，学生往往会对某些问题难以理解、掌握，常常出现逻辑、理解、运算等错误，学习过程中的错误常常影响着学生对知识的了解和知识更深层次的运用、理解，这无疑对学生形成扎实的双基和更进一步的学习产生了副作用. 本文将从独特的视角去阐述，如何正确面对数学学习中出现的错误，并以这些错误为载体更好地提高学生的思维能力.

[关键词] 数学；错误；思考；思维能力

在教学中，笔者常常遇到学生这样的问题：“老师，我能听懂你上课的内容，但是当遇到自己做题时却往往有各种各样的错误，有些是计算上的、有些是知识理解上的、有些是方法选择上的，最难的是有无从下手的！这该怎么办呢？”这一现象，我们称之为数学学习中的“懂而不会”，在高中生学习数学的过程中普遍存在，久而久之有些学生因此而丧失了学好数学的信心，甚至致使少数初中数学学习的佼佼者沦为高中数学学习的失败者.

分析学生错误产生的原因，笔者认为有利于改善我们的教学. 从这些错误的原因来看，诸如高中数学知识的难度上升、学生学习习惯的差异、学习心态稳定与否、家庭教育的全面性等等都有一定的关系. 本文将从数学知识角度来进行分析，笔者认为学生在进入高中之后，随着高中数学更具形式化、更抽象，学生对知识的理解遇到了困难，久而久之的困难堆积形成思维障碍，这些障碍形成学生学习过程中大量错误的积累，在得不到及时解决时便会造成大量困难. 因此，笔者在想将这些错误成因进行归类，并利用这些常见的错误引导学生分析、理解，进而减少其学习过程的类似错误，提高数学学习的有效性和其思维能力，这对于教师而言是具有重要意义的工作.

[?] 从双基错误提高思维辨别

双基教学一直是我国数学教学的优良传统，也是课程改革中坚持下来的东西. 从高一到高二，学生一直致力于学习数学的新知，在此过程中打下坚实的基础显得尤为重要. 相比初中数学，高中数学学习的特点发生了巨大的变化：新知的进度完全超乎学生的想象，使得高一新生学习数学非常疲惫；数学的题型变化多端，即使能理解教材中的数学基本知识也难以完全应对千变万化的试题；高中数学的运算水平陡然上升了层次，在计算上使一般计算水平的学生止步不前等等. 这些都是双基的具体表象，在这些困难的背后，造成学生不断在数学学习中出现错误. 如何解决和利用这些错误使得学生学习更坚实？进而提升学生的思维能力呢？来看一个案例：

案例1（高一抽象函数）函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x>0时，恒有f（x）>1.

（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.

学生错误成因：（1）对抽象函数，在教师的角度而言都是一类问题，学生却难以理解：明明没有表达式却要分析其单调性、奇偶性，怎么使用条件中的抽象式是难点；（2）在解决抽象不等式的时候，学生没有利用单调性脱去“f”的思想，致使问题停留在表层.

善用錯误效应：抓住这样的抽象函数问题，笔者对其进行举一反三的分析：（1）对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义，应该构造出f（x2）-f（x1），并与0比较大小. （2）将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f（M）

解析：（1）设x10. 因为当x>0时，f（x）>1，所以f（x2-x1）>1，f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1>0·f（x1）

（2）因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+f（1）-1?f（2）=2f（1）-1，f（3）=4?f（2+1）=4?f（2）+f（1）-1=4?3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）<2=f（1），因为f（x）在R上为增函数，所以a2+a-5<1?-3

思维辨别：本题对函数的单调性的判断是一个关键点. 不会运用条件x>0时，f（x）>1. 构造不出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1的形式，找不到问题的突破口. 第二个关键应该是将不等式化为f（M）

[?] 从综合问题提高思维整合

立足双基之后的教学，数学教学要提高到整合性教学的层面来面对错误效应，进而提高思维的整体性和整合能力. 本人认为，高中数学中立体几何是思维整合性和整体性较好体现的知识板块，近年的高考立体几何题多选择的是可以用传统法和向量法均能解决的几何体编制的试题，既关注了传统法，也留意向量法. 传统法的优点是少运算多思考，向量法则恰恰相反，我们的教学中不能过于依赖某种方法，既学好传统法有利于解决简单的证明和培养空间想象能力，也能利用向量法解决角和距离，这里的一个“度”的把握，提高了综合问题解决的思维整合.

（2）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高h变化时，求sinθ的最大值.

学生错误成因：（1）传统法中线面角概念的缺失及传统方法中线面角的寻找；（2）空间向量法中运算能力的缺失.

善用错误效应：第（2）问求解线面角时，主要抓住传统法中的线面角定义，怎么不断通过线面垂（射影）去找寻线面角对学生来说是难点和易错点；另外一种方法是利用空间向量法，本题的直角坐标系建立比较容易，要解决线面角最大的易错之处就是空间向量的运算.

思维整合：线面角一直是立体几何的难点，传统法最大的困难在于如何找到其所在；向量法的易错点很明显在两个方面，其一是代数的运算，其二是倾斜的几何体或组合体如何解决.

总之，本文在数学基本和整合的角度谈了问题的错误效应，以及利用错误提升思维的两个方面. 限于时间和篇幅，着重以“双基的错误效应、整合的错误效应”视角出发，以错误为载体寻求应对这些错误的方法展开叙述，期间还有很多问题没有涉及，还有一些方面本人未能从自身的教学实践中提炼、总结出来，期待补充. 以上是笔者的管窥之见，希望大家能够不吝赐教.